Dos urnas contienen el mismo número total de bolas, algunas negras y algunas
blancas en cada una. De cada urna se extraen n (≥3) bolas con reemplazo.
Encuentre el número de extracciones n y la composición de las dos urnas de modo
que la probabilidad de que todas las bolas extraidas de la primera urna sean
blancas sea la misma que la probabilidad de que todas las bolas extraidas de la
segunda urna sean todas del mismo color, ya sean todas blancas o todas negras
E. C. Molina inventó este problema para mostrar la famosa conjetura de Fermat en
teoría de números como un problema de probabilidad.
Sea
z el número de bolas blancas en la primera urna,
x el número de blancas
y el número de negras en la segunda.
Entonces queremos encontrar los enteros n, x, y y z para que
Ya sabemos que para n>2 esta ecuación no tiene solución en el conjunto
de los números enteros.
Bonito modelo también cuando n=2, por ejemplo, si la primera urna tiene
5 bolas blancas y dos negras, y la segunda 3 blancas y 4 negras, la
probabilidad de extraer de la primera dos blancas es
52/72
la probabilidad de obterner dos blancas o dos negras de la segunda es
32/72 + 42/72
ambas coinciden.
Las ternas pitagóricas dan la solución a este problema cuando hay dos
extracciones sin devolución.
El canvas muestra como partiendo de un triángulo rectángulo se forman
las dos urnas con el mismo número de bolas de modo que que al
extraer dos bolas con reemplazamiento se cumplan las condiciones del
problema, la probabilidad de que las dos bolas extraídas de la primera
urna sean blancas es igual a pa probabilidad de que las dos bolas
extraidas de la seguna urna sean del mismo color.
Créditos
Traducción del problema 56 del libro Fifty challenging problems in
probability , MOSTELLER
