Promedio de tiradas hasta el primer 6

¿Cuál es el promedio de tiradas de un dado hasta conseguir un 6?

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Solución

Parece evidente que debe ser 6 el promedio.
Sea p la probabilidad de un 6 en una tirada dada. Entonces la probabilidad de éxito en cada tirada es : ( q=1-p)

La suma de estas probabilidades es

Y la media de intentos por definición es

Multiplicamos m por q

 Y restamos

En nuestro ejemplo del dado p=1/6, y por tanto m=6, como era de esperar.

Nos gusta el comentario de Moteller, una bonita manera de ver este problema es notar que cuando la primera tirada falla, la media del número de tiradas será 1+m , y cuando la primera tirada es un 6, la media del número de tiradas para el éxito es 1, lo que da una media total de

p·1 + q·(1 + m)

p + (1 - p)·(1 + m)

1-pm+m

Concluimos que

m=1-pm+m

Es decir

1/p=m

Créditos
Traducción del problema 4 del libro Fifty challenging problems in probability , MOSTELLER

Dado realizado con chat GPT

Consolación Ruiz Gil Marzo 2024  https://www.matsolin.com/Primer6/index.htm