Muchas personas creen que solo un viaje lejano, quizá al espacio exterior o al fondo
del océano, permitiría descubrir cosas realmente extraordinarias, mientras que la vida
cotidiana es tan familiar que ya no puede ofrecernos ninguna sorpresa.
¡Qué equivocación! Nuestro entorno está lleno de enigmas que pasan inadvertidos
precisamente porque forman parte de lo habitual.
Este capítulo cuenta la historia de dos rompecabezas, aparentemente muy conocidos,
tomados de la historia de las matemáticas.
Los estudiantes de enseñanza secundaria conocen el símbolo
\( \pi \), que representa la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
La letra \( \pi \) es la inicial de la palabra griega
περιφέρεια, que significa «circunferencia».
El matemático inglés William Jones fue el primero en introducir el símbolo
\( \pi \) en 1706. En 1736 Leonhard Euler adoptó esta notación en lugar del símbolo
\( p \), que se utilizaba anteriormente. Desde entonces, el símbolo
\( \pi \) ha pasado a ser de uso universal.
Desde la Antigüedad, los matemáticos buscaron un valor para el número
\( \pi \). Arquímedes determinó su aproximación
\(
22/7
\).
Este hecho es tan conocido que casi nadie sospecha que encierre un misterio.
¿Quién se pregunta alguna vez por qué Arquímedes eligió precisamente una fracción
con denominador 7? ¿Qué ocurriría si \( \pi \) se aproximara mediante una fracción
con denominador 8?
Nota. En realidad, Arquímedes obtuvo un resultado mucho más preciso en su obra
Sobre la medida del círculo. Demostró que
\[
3+\frac{10}{71}<\pi<3+\frac17.
\]
En palabras del propio Arquímedes:
«La circunferencia de cualquier círculo es triple de su diámetro y excede de él
en una cantidad menor que una séptima parte del diámetro, pero mayor que
diez setenta y unavos».
Aunque el valor de \( \pi \) está más próximo a
\(3+\frac{10}{71}\) que a
\(3+\frac17\),
la aproximación sencilla
\(22/7\)
es la que habitualmente se utiliza.
1.1.2. Aproximación
Esta cuestión resulta ser de extraordinario interés.
Con frecuencia los matemáticos se enfrentan al problema de sustituir un objeto
(un número, una función, una figura, etc.) por otro de la misma naturaleza que
sea suficientemente próximo, pero más sencillo que el original. A este proceso
se le denomina aproximación. En el caso general es necesario determinar
qué significa exactamente «suficientemente próximo». Nosotros no abordaremos
ese problema general y limitaremos nuestro estudio a la aproximación de números
reales.
Figura 1.1.
Consideremos el conjunto de todos los números reales, que denotaremos por
R. Los números reales pueden ser complicados por naturaleza,
como los irracionales, o resultar incómodos de manejar, como las fracciones con
denominadores grandes.
Conviene explicar por qué la incomodidad de una fracción puede evaluarse por su
denominador. (Recordemos que una fracción es un número de la forma
\( \frac{p}{q} \), donde \(p\) y \(q\) son enteros y \(q\neq0\); por tanto,
\( \frac{\sqrt3}{3} \) y \( \frac{\pi}{2} \) no son fracciones).
Si nos interesa principalmente el valor de un número real \( \alpha \), y no su
naturaleza aritmética, basta conocer la posición de \( \alpha \) entre dos
enteros consecutivos \(n\) y \(n+1\). Sumar un entero a \( \alpha \) no cambia
su naturaleza aritmética (esta afirmación no es válida en la rama de la
aritmética que trabaja con enteros). La Figura 1 muestra dos números,
\( \alpha \) y \(3+\alpha\), situados en la misma posición relativa dentro de
los intervalos \([0,1]\) y \([3,4]\), respectivamente (el término «segmento» se
definirá en la página 41). Por ejemplo, los números
\( \frac{391}{4}=97\frac34 \) y \( \frac34 \) ocupan idéntica posición dentro
de los segmentos \([97,98]\) y \([0,1]\); por ello no hay motivo para considerar
que el primero sea más complicado que el segundo. Esto implica que un análisis
de la naturaleza de los números contenidos en el intervalo \([0,1]\) se
reproduce íntegramente en cualquier intervalo \([n,n+1]\). Por esa razón, al
evaluar la simplicidad o complejidad de una fracción solo nos interesa su
denominador.
Consideremos ahora el subconjunto de fracciones con un denominador fijo
\(q\). La distancia entre un número \( \alpha \) y una fracción
\( \frac{p}{q} \) es
\( \left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \).
Con ello podemos interpretar el problema de la aproximación de números reales
del siguiente modo:
Aproximar un número real mediante una fracción de denominador \(q\) consiste en
elegir, entre todas las fracciones con denominador \(q\), la más próxima a ese
número.
Figura 1.2.
Si representamos sobre la recta numérica todas las fracciones con denominador
\(q\), el número \( \alpha \) quedará situado entre dos fracciones
consecutivas o coincidirá con una de ellas. Este último caso es trivial; en el
primero podemos escribir
\[
\frac{p-1}{q}<\alpha<\frac{p}{q}.
\]
De esas dos fracciones se toma como aproximación la que esté más próxima a
\( \alpha \) (Figura 2).
Puede ocurrir que \( \alpha \) sea exactamente el punto medio del segmento
\(
\left[\frac{p-1}{q},\frac{p}{q}\right]
\).
Este y solo este caso produce dos soluciones posibles. Para fijar ideas,
adoptaremos como aproximación el extremo izquierdo del segmento.
Queda claro, por tanto, que cualquier denominador permite aproximar un número
real; la elección del denominador \(q\) es simplemente una cuestión de
preferencia.
La aproximación resulta especialmente útil cuando queremos sustituir un número
irracional por un racional. También puede emplearse para reemplazar una fracción
por otra equivalente más manejable, es decir, con un denominador menor. Por
ejemplo, la aproximación de
\(
\frac{2936}{7043}
\)
mediante una fracción de denominador 12 es
y
\(
\frac{2936}{7043}
\)
está más cerca de
\(
\frac{5}{12}
\)
que de
\(
\frac{6}{12}
\).
La aproximación de números reales mediante fracciones decimales se utiliza desde
hace mucho tiempo. Sin embargo, en la época de Arquímedes los decimales eran
desconocidos y él podía elegir libremente el denominador de sus aproximaciones.
¿Por qué prefirió precisamente el denominador 7? ¿Fue una simple casualidad?
```html
1.1.3. Error de aproximación
Un número real \( \alpha \) aproximado por una fracción
\( \frac{p}{q} \) tiene asociado un error
\[
\Delta=\alpha-\frac{\hat p}{q},
\]
donde
\(
\frac{\hat p}{q}
\)
representa el extremo del intervalo
\(
\left[\frac{p-1}{q},\frac{p}{q}\right]
\)
que está más próximo a \( \alpha \).
Así pues, el error es exactamente la diferencia entre el número
\( \alpha \) y su aproximación.
Por consiguiente, el error es positivo cuando
\[
\frac{\hat p}{q}=\frac{p}{q},
\]
y es negativo cuando
\[
\frac{\hat p}{q}=\frac{p-1}{q}.
\]
El valor absoluto \( |\Delta| \) recibe el nombre de
error absoluto.
Es inmediato comprobar que el error absoluto nunca supera
\(
\frac{1}{2q}
\)
(véase la Figura 2):
\[
|\Delta|\le\frac1{2q}.
\]
El número
\(
\frac1{2q}
\)
se denomina cota superior del error absoluto.
Esta cota depende de la aproximación elegida. Por ejemplo,
si hubiéramos acordado aproximar siempre \( \alpha \) mediante el
extremo izquierdo del intervalo
\(
\left[\frac{p-1}{q},\frac{p}{q}\right]
\),
la cota superior sería
\(
\frac1q
\).
Nota. Las fracciones decimales comenzaron a utilizarse en Europa
a finales del siglo XVI, aunque ya eran conocidas en Oriente mucho antes del
final del siglo XV. Su introducción se debe al científico flamenco
Simon Stevin. El escritor inglés Jerome K. Jerome
comentó con humor este hecho:
«Desde Gante fuimos a Brujas (donde tuve la satisfacción de arrojar una piedra
a la estatua de Simon Stevin, que añadió a las miserias de mis tiempos de
escuela inventando los decimales), y desde Brujas vinimos aquí.»
Diary of a Pilgrimage, entrada correspondiente al lunes 9 de junio.
1.1.4. Calidad de la aproximación
El error absoluto alcanza su cota máxima cuando
\( \alpha \) coincide con el punto medio del intervalo
\[
\left[\frac{p-1}{q},\frac{p}{q}\right].
\]
Este es el caso más desfavorable. Sin embargo, cuando
\( \alpha \) está muy próximo a uno de los extremos del intervalo,
el error absoluto real puede ser considerablemente menor que esa cota.
Figura 1.3.
Esta observación sugiere que es necesario medir la
calidad de una aproximación. Resulta natural decir que una
aproximación mediante una fracción con denominador pequeño es buena
si el error es pequeño o, de forma más precisa, si el error absoluto
es mucho menor que su cota superior.
Para evaluar la calidad de una aproximación consideraremos el cociente
entre el error absoluto real y la cota superior del error absoluto:
\[
\frac{\text{error absoluto}}
{\text{cota superior del error absoluto}}
=
\frac{|\alpha-p/q|}{1/(2q)}
=
2\,|q\alpha-p|.
\]
Es conveniente trabajar con la mitad de este cociente, cantidad que
denotaremos por \(h\) y llamaremos error normalizado:
\[
h=|q\alpha-p|. \tag{1}
\]
Así, el error normalizado representa la mitad del cociente entre el
error absoluto real y el máximo error posible. Evidentemente,
\[
0<h\le\frac12.
\]
La calidad de una aproximación será tanto mayor cuanto menor sea
el valor de \(h\). Definimos entonces la magnitud
a la que llamaremos factor de calidad.
Su interpretación es muy sencilla: el factor de calidad indica cuántas
veces es menor el error absoluto real que el máximo error absoluto
posible.
```html
Es evidente que
\[
1\le\lambda<\infty,
\]
y cuanto mayor sea \( \lambda \), mejor será la aproximación.
Sería un error pensar que las fracciones con denominadores mayores son siempre
más útiles. Puede ocurrir que la aproximación de un número \( \alpha \)
mediante una fracción de denominador 8 sea menos precisa que otra con
denominador 7.
Examinemos el número \( \pi \), aproximado mediante fracciones cuyos
denominadores van de 1 a 10 (véase la Tabla 1). Omitimos los cálculos,
que dejamos al lector.
\(q\)
Aproximación de \( \pi \)
Cota superior del error
\(|\Delta|\)
\(h\)
\(\lambda\)
1
\(\frac31\)
\(\frac12=0.5000\)
0.1416
0.1416
3.5
2
\(\frac62\)
\(\frac14=0.2500\)
0.1416
0.2832
1.8
3
\(\frac93\)
\(\frac16=0.1667\)
0.1416
0.4248
1.2
4
\(\frac{13}4\)
\(\frac18=0.1250\)
0.1084
0.4336
1.2
5
\(\frac{16}5\)
\(\frac1{10}=0.1000\)
0.0584
0.2920
1.7
6
\(\frac{19}6\)
\(\frac1{12}=0.0833\)
0.0251
0.1504
3.3
7
\(\frac{22}7\)
\(\frac1{14}=0.0714\)
0.0013
0.0089
56.5
8
\(\frac{25}8\)
\(\frac1{16}=0.0625\)
0.0166
0.1327
3.8
9
\(\frac{28}9\)
\(\frac1{18}=0.0556\)
0.0305
0.2743
1.8
10
\(\frac{31}{10}\)
\(\frac1{20}=0.0500\)
0.0416
0.4159
1.2
Tabla 1.
La tabla demuestra que la aproximación de \( \pi \) mediante la fracción
de denominador 7 es mucho mejor que mediante cualquiera de las demás.
El error real es 56,5 veces menor que la cota superior del error.
La Figura 4 muestra la posición de \( \pi \) sobre la recta real.
Casualmente (¿o quizá no?) \( \pi \) está muy próximo a
\(3+\frac17\).
Si se exigiera aproximar \( \pi \) con un error absoluto menor o igual que
0.0013, bastaría imponer la condición
\[
\frac1{2q}\le0.0013,
\]
de donde se obtiene
\(
q\ge385
\).
Arquímedes alcanzó esa misma precisión utilizando un denominador muchísimo
más pequeño.
Conviene señalar que las fracciones de denominador 385 permiten aproximar
cualquier número real con un error inferior a 0.0013, mientras que la fracción
de denominador 7 resulta extraordinariamente adecuada únicamente para
aproximar \( \pi \).
Figura 1.4.
La elección de Arquímedes, por tanto, difícilmente pudo ser fruto del azar.
Pero ¿cómo llegó a encontrar esa fracción?
Muchos siglos después, en 1585, el científico neerlandés
Adriaen Anthoniszoon
(más conocido como Adrianus Metius)
encontró otra excelente aproximación de \( \pi \):
\[
\frac{355}{113}.
\]
Este resultado fue publicado tras la muerte de Anthoniszoon por su hijo
Adriaen Metius, motivo por el que el valor
\(355/113\) suele conocerse como el
número de Metius.
Posee una propiedad tan llamativa como la aproximación de Arquímedes:
su error real es mucho menor de lo que cabría esperar para un denominador 113.
Invitamos al lector a analizar el número de Metius del mismo modo que hemos
estudiado el de Arquímedes.
No cabe duda de que el número de Metius tampoco fue un descubrimiento casual.
De hecho, era conocido mucho antes de que Adriaen Anthoniszoon lo redescubriera
(véase, por ejemplo, el libro de Struik citado en la bibliografía).
1.2. El enigma del papa Gregorio XIII
1.2.1. El problema matemático del calendario
El papa Gregorio XIII no fue matemático, pero su nombre quedó asociado para
siempre a un importante problema matemático: el calendario.
La naturaleza nos proporciona dos unidades de tiempo fundamentales:
el año y el día (día solar). Ya en antiguos textos...
```html
Como se afirma en un conocido libro de cosmografía:
«Desgraciadamente, el año no contiene un número entero de días.»
No podemos sino estar de acuerdo con esta observación, ya que ese hecho, además
de resultar muy conveniente en la práctica, plantea un interesante problema
matemático.
Sería imposible utilizar exactamente esta duración del año en la vida civil.
Pero ¿qué ocurriría si se decretara que el año civil tuviera exactamente
365 días?
Figura 1.5.
La Figura 5 representa la órbita de la Tierra alrededor del Sol.
Supongamos que el 1 de enero de 1985, a medianoche, la Tierra ocupa la posición
A. El 1 de enero de 1986, también a medianoche, se encontrará en el punto B y,
un año después, en el punto C, y así sucesivamente. Como consecuencia, la
posición de la Tierra correspondiente a una fecha fija del calendario no será la
misma cada año, sino que irá retrasándose casi seis horas anualmente.
Nota. En este capítulo no analizaremos ni los aspectos
astronómicos del calendario (como la variación de la duración del año) ni su
evolución histórica. Nos centraremos únicamente en el problema matemático que
nos interesa. El lector que desee profundizar en esos aspectos puede consultar
la bibliografía.
Ese desfase alcanzaría aproximadamente un día completo cada cuatro años.
Como consecuencia, las fechas del calendario se irían desplazando lentamente a
través de las estaciones: el 1 de enero pasaría del invierno al otoño, después
al verano, etc. Esto sería claramente inconveniente, ya que acontecimientos
periódicos, como las cosechas o el comienzo del curso escolar, dejarían de estar
vinculados a fechas fijas.
¿Cómo puede evitarse esta situación? Una posibilidad consistiría en decretar que
algunos años tuvieran 365 días y otros 366, con el fin de que la duración media
del año se aproximara lo mejor posible al año trópico. Aunque este procedimiento
permite alcanzar cualquier precisión deseada, la regla de alternancia entre años
ordinarios y bisiestos puede resultar demasiado complicada. Necesitamos un
compromiso: un patrón sencillo que mantenga la duración media del año
suficientemente próxima a la real.
1.2.2. Los calendarios juliano y gregoriano
Este problema fue resuelto por primera vez en tiempos de Julio César o, más
exactamente, por el astrónomo alejandrino Sosígenes, quien
propuso la reforma del calendario que Julio César introdujo en Roma.
El sistema consistía en tres años ordinarios de 365 días seguidos de un año
bisiesto de 366 días. Mucho más tarde, cuando se implantó la cronología
cristiana, se decidió que serían bisiestos los años cuyo número fuese múltiplo
de 4.
Este calendario recibe el nombre de calendario juliano.
La duración media del año juliano es
es decir, aproximadamente 11 minutos y 14 segundos más larga que el año trópico.
El calendario juliano fue corregido por el papa
Gregorio XIII.
Aunque anteriormente se habían propuesto diversas reformas, ninguna llegó a
implantarse. Finalmente, en 1582 se promulgó la reforma gregoriana. Se mantuvo
la alternancia entre años ordinarios y bisiestos, pero se añadió una regla:
Si el número del año termina en dos ceros, pero no es múltiplo de 400, ese año
se considera ordinario.
Por ejemplo, el año 1700 fue ordinario, mientras que el año 1600 fue bisiesto.
Además, para corregir el desfase acumulado, el papa Gregorio XIII decretó que al
jueves 4 de octubre de 1582 le siguiera inmediatamente el viernes 15 de octubre
de 1582. Desde entonces se han acumulado otros días de diferencia (1700, 1800 y
1900...), cuestión que estudiaremos más adelante.
```
```html id="p8cn4m"
Como consecuencia, en la actualidad la diferencia entre los calendarios juliano
y gregoriano es de 13 días.
¿Cuál es entonces la duración media del año gregoriano?
De cada 400 años, el calendario juliano considera bisiestos 100, mientras que
el calendario gregoriano únicamente considera bisiestos 97. Por ello, la
duración media del año gregoriano es
es decir, tan solo 26 segundos más larga que la duración real del año.
Vemos así que puede alcanzarse una precisión extraordinaria mediante reglas muy
sencillas. Pero ¿cómo se obtuvo este resultado?
La respuesta aparecerá en el Capítulo VI.
Capítulo 2 — Desarrollo en fracciones continuas
2.1. Desarrollo de un número real en fracción continua
2.1.1. Algoritmo de desarrollo en fracción continua
Olvidemos por un momento el sistema decimal. El brillante matemático soviético
Nikolái Luzin (1883–1950) solía decir en sus clases que
«las ventajas del sistema decimal son zoológicas, no matemáticas».
Si el ser humano hubiera tenido ocho dedos en lugar de diez, habría utilizado
el sistema octal. El sistema decimal resulta muy cómodo en la práctica, pero no
es el más adecuado cuando se estudian cuestiones teóricas de aritmética.
Prescindamos, por tanto, del sistema decimal y de cualquier sistema de
numeración posicional. Pongámonos en el lugar de Arquímedes y planteémonos la
siguiente pregunta:
¿cuál sería el método más natural para aproximar un número real?
La respuesta es inmediata: el primer paso consiste en indicar entre qué dos
enteros consecutivos se encuentra el número. Por ejemplo,
\[
\frac{61}{27}
\text{ está entre }
2
\text{ y }
3,
\]
\[
\sqrt2
\text{ está entre }
1
\text{ y }
2,
\]
\[
\pi
\text{ está entre }
3
\text{ y }
4.
\]
Naturalmente, basta con indicar el extremo inferior de cada intervalo:
\[
\frac{61}{27}=2+x,\qquad (0<x<1).
\]
\[
\sqrt2=1+y,\qquad (0<y<1).
\]
\[
\pi=3+z,\qquad (0<z<1).
\]
Obsérvese que esta estimación no depende de ningún sistema de numeración
concreto, sino únicamente de los números enteros.
Continuemos con el número
\(
\frac{61}{27}
\).
La estimación «dos y algo» es todavía demasiado grosera y constituye solo una
primera aproximación.
```
Si queremos dar el segundo paso, debemos estimar la cantidad desconocida
\(x\). Como \(x\) es menor que 1, resulta natural representarla mediante
una fracción cuyo numerador sea 1 (apelamos una vez más al «criterio de la
naturalidad», aunque será la última vez que lo hagamos):
\[
\frac{61}{27}=2+\frac{1}{x_1}.
\]
Ahora \(x_1\) es mayor que la unidad y repetimos el procedimiento habitual:
separamos la parte entera del número y continuamos del mismo modo. Invitamos
al lector a seguir atentamente esta sucesión de pasos:
donde
\(a_1,a_2,\ldots,a_s\)
son números naturales y
\(a_0\)
es un número natural o el cero, recibe el nombre de
fracción continua.
Los números
\(a_0,a_1,a_2,\ldots,a_s\)
se denominan los
términos
de la fracción continua. Diremos, por tanto, que hemos desarrollado la
fracción
\(
\frac{61}{27}
\)
en fracción continua.
En lo sucesivo utilizaremos con frecuencia este algoritmo. Consta de dos pasos
que se alternan sucesivamente:
Paso 1.
Separar la parte entera del número, es decir, escribirlo como suma de un
entero y un resto menor que la unidad.
Paso 2.
Escribir el resto como el inverso de un número mayor que la unidad.
Aplicar de nuevo el Paso 1 a ese denominador y continuar del mismo modo.
Pero antes de profundizar en la teoría de las fracciones continuas,
respondamos tres cuestiones.
Recordatorio.
Los números naturales son
1, 2, 3, … .
El cero no se considera número natural en este libro.
2.1.2. Notación de las fracciones continuas. Primera cuestión
¿No resulta demasiado engorrosa la notación de las fracciones continuas?
Nuestro primer ejemplo ha producido una fracción de tres pisos; para una de
veinte pisos, el espacio de la página no sería suficiente.
Por ello se han ideado distintas notaciones. Nosotros utilizaremos la
siguiente:
El punto y coma pone de manifiesto el papel especial de la parte entera
\(a_0\), distinta de los restantes términos. Su función es únicamente
destacarla; en este capítulo esa diferencia no tendrá demasiada importancia.
2.1.3. Desarrollo de números negativos en fracción continua. Segunda cuestión
¿Cómo se desarrolla un número negativo en fracción continua?
Existen dos procedimientos.
1.
Colocar el signo menos delante de toda la fracción. Por ejemplo,
En este libro utilizaremos exclusivamente el segundo procedimiento. A partir
de ahora,
\(a_0\)
podrá ser cualquier número entero, mientras que
\(a_1,a_2,\ldots\)
serán siempre números naturales.
Hecha esta observación, apenas volveremos a ocuparnos de los números
negativos durante el desarrollo de la teoría. Un número negativo puede
obtenerse simplemente sumando un entero negativo adecuado.
2.1.4. Ejemplos de desarrollos no terminantes. Tercera cuestión
¿El proceso de desarrollar un número real \( \alpha \) en fracción continua
termina siempre?
No. Puede ser infinito. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. Desarrollar \( \sqrt2 \) en fracción continua.
Observamos que \(x_2=x_1\). En consecuencia, a partir de este punto el proceso
se repite indefinidamente:
\(x_3=x_2,\;x_4=x_3,\ldots\).
Así obtenemos sucesivamente
Mientras escribamos una expresión finita para \( \sqrt2 \) (en la que aparece
algún \(x_n\) irracional), podemos utilizar el signo de igualdad. Si el proceso
continúa indefinidamente obtenemos
\[
\sqrt2\sim[1;\,2,\,2,\,2,\ldots],
\]
es decir, el número \( \sqrt2 \) corresponde a una fracción continua no
terminante. No escribimos el signo de igualdad entre \( \sqrt2 \) y
\([1;2,2,2,\ldots]\), porque todavía no hemos demostrado que ambas
representaciones sean completamente equivalentes. Volveremos sobre esta cuestión
en el Capítulo VI.
Ejemplo 2.
En algunos problemas geométricos es posible desarrollar una magnitud en
fracción continua sin conocer previamente su valor numérico.
Como ejemplo, consideremos la razón entre la base y el lado de un triángulo
isósceles cuyo ángulo del vértice es de \(108^\circ\).
Los ángulos del triángulo \(ABC\) (Figura 6) son
\(108^\circ\), \(36^\circ\) y \(36^\circ\).
Marcamos sobre el lado \(BC\) un segmento
\(BB_1=b\)
(obsérvese que esto solo puede hacerse porque
\(a<2b\)).
Entonces
Pero el triángulo \(B_1AC\) es semejante al triángulo inicial \(ABC\).
La primera igualdad determina la razón entre la base y el lado del triángulo,
y la segunda conduce exactamente al mismo problema en un triángulo semejante,
puesto que \(x_1\) vuelve a representar la razón entre la base y el lado.
El proceso, por tanto, nunca termina, ya que el primer paso reproduce la
situación inicial.
Figura 2.1.
En consecuencia,
\[
\frac ab\sim[1;\,1,\,1,\,1,\ldots].
\]
Del mismo modo puede demostrarse que
\[
\frac ba\sim[0;\,1,\,1,\,1,\ldots].
\]
Volveremos sobre este resultado al final del apartado 4.2.2.
Ejemplo 3.
Desarrollar en fracción continua la razón entre la diagonal de un cuadrado y
su lado.
Este ejemplo es más complicado que el anterior. Allí regresábamos a la
situación inicial tras un solo paso; aquí son necesarios dos.
Si suponemos que
\(
\frac da=\sqrt2,
\)
este ejemplo coincide con el Ejemplo 1.
Sin embargo, el desarrollo de la razón
\(
\frac da
\)
en fracción continua puede obtenerse mediante argumentos geométricos, sin
utilizar información numérica.
Situación inicial: marcamos el lado sobre la diagonal, operación que solo puede
realizarse una vez. Obtenemos (Figura 2.2)
\[
\frac da
=
\frac{CA}{CB}
=
\frac{CB_1+B_1A}{CB}
=
1+\frac1{x_1},
\]
\[
x_1
=
\frac{CB}{B_1A}
=
\frac{AB}{AB_1}.
\]
Construimos ahora el segmento
\(B_1B_2\perp AC\).
Entonces
\(BB_2=B_1B_2\)
(se deja su demostración al lector).
Completamos el triángulo
\(AB_1B_2\)
hasta formar un cuadrado (únicamente para facilitar la explicación; en realidad
no es necesario para la demostración) y marcamos el segmento
\(AB_1\)
sobre
\(B_2A\).
Después de hacerlo una vez obtenemos el resto
\(BB_2\).
Debemos volver a marcar
\(AB_1\)
sobre
\(B_2A\),
pero esto reproduce exactamente la situación inicial: volvemos a marcar el lado
de un cuadrado sobre su diagonal. Por tanto, el proceso es infinito y obtenemos
\[
\frac da\sim[1;\,2,\,2,\,2,\ldots].
\]
Figura 2.2.
Del mismo modo puede demostrarse que
\[
\frac ad\sim[0;\,1,\,2,\,2,\ldots].
\]
(véase el Apartado 4.2.2).
2.2. Algoritmo de Euclides
2.2.1. Algoritmo de Euclides
En el apartado anterior estudiamos el algoritmo para desarrollar números reales
en fracciones continuas. Dicho algoritmo constaba de dos pasos que se iban
alternando:
1. Separar la parte entera del número.
2. Escribir el resto (menor que la unidad) como el inverso de un número mayor
que la unidad.
Este procedimiento no es más que un caso particular del algoritmo de Euclides,
uno de los algoritmos más importantes de las matemáticas.
Veamos primero cómo funciona el algoritmo de Euclides para calcular el máximo
común divisor (m.c.d.) de dos números naturales.
Sean \(p\) y \(q\) dos números naturales.
El algoritmo de Euclides consta de los siguientes pasos:
Aclaración.
Cuando el dividendo y el divisor son enteros, el resto puede ser cero.
¿Por qué entonces escribimos
\(0<r_1<r_0\)
en lugar de
\(0\le r_1<r_0\)?
Porque cuando ocurre que
\(r_i=0\),
la sucesión termina en ese punto.
El algoritmo no puede continuar, ya que los restos
\(r_0,r_1,r_2,\ldots\)
son enteros no negativos y cada uno es estrictamente menor que el anterior.
Por tanto, necesariamente alguno de ellos acabará siendo cero.
donde \(r_{s-1}\) es precisamente el número que buscamos: el máximo común divisor
de \(p\) y \(q\).
Observación.
Si \(p<q\), entonces \(a_0=0\). Esto no altera en absoluto el algoritmo.
Todas estas igualdades, excepto la última, expresan una fracción impropia como
la suma de un número entero y una fracción propia. Obsérvese que el miembro
izquierdo de cada igualdad (a partir de la segunda) es precisamente el inverso
de la fracción propia obtenida en la igualdad anterior. Por tanto, podemos ir
eliminando sucesivamente todos los restos \(r_i\).
Sustituyendo la fracción
\(
\frac{r_0}{q}
\)
de la primera igualdad por la expresión obtenida en la segunda, resulta
Continuando este proceso obtenemos finalmente el desarrollo de
\(
\frac pq
\)
en fracción continua. Sin embargo, no es necesario realizar todas estas
sustituciones cada vez. Basta recordar la siguiente regla:
Regla.
Para desarrollar la fracción
\(
\frac pq
\)
en fracción continua, basta aplicar el algoritmo de Euclides a los números
\(p\) y \(q\). Los cocientes obtenidos en las divisiones sucesivas son
precisamente los términos de la fracción continua buscada.
Ejemplo.
Desarrollar la fracción
\(
\frac{61}{27}
\)
en fracción continua.
Figura 2.3.
Por tanto,
\[
\frac{61}{27}=[2;\,3,\,1,\,6].
\]
2.2.2. Ejemplos de aplicación del algoritmo de Euclides
El algoritmo de Euclides no solo sirve para calcular el máximo común divisor de
dos números naturales. Sean \(p\) y \(q\) dos elementos de un conjunto
arbitrario en el que esté definida la división con resto. En ese contexto el
algoritmo también puede aplicarse.
Observación.
Esto significa que a cada par ordenado
\((p,q)\)
(se considera \(p\) el dividendo y \(q\) el divisor) le corresponde un par
\((a,r)\), donde \(a\) es el cociente y \(r\) el resto, verificándose
\[
p=aq+r,\qquad r<q.
\]
Por ejemplo, si \(p\) y \(q\) representan segmentos sobre una recta, el
algoritmo de Euclides permite hallar su medida común. Cuando ambos segmentos son
conmensurables, el algoritmo termina y el segmento
\(r_{s-1}\)
(véanse las fórmulas (3)) es precisamente esa medida común.
En efecto, de la última igualdad de (3) se deduce que
\(r_{s-2}\)
es un múltiplo entero de
\(r_{s-1}\).
Sustituyendo este resultado en la igualdad anterior obtenemos
Así,
\(r_{s-3}\)
también es un múltiplo entero de
\(r_{s-1}\).
Repitiendo el razonamiento sucesivamente hacia atrás llegamos a las dos primeras
igualdades de (3), demostrando que tanto
\(p\)
como
\(q\)
son múltiplos enteros de
\(r_{s-1}\),
que por tanto es su máximo común divisor.
Además, el algoritmo de Euclides produce simultáneamente los términos de la
fracción continua correspondiente al cociente
\(
\frac pq
\).
Si \(p\) y \(q\) son inconmensurables, el algoritmo no termina y los números
\(a_0,a_1,a_2,\ldots\)
constituyen los términos de la fracción continua infinita asociada a
\(
\frac pq
\).
El algoritmo de Euclides también puede aplicarse a polinomios de una variable.
En ese caso, la relación «menor que» significa «de grado inferior».
Mediante este algoritmo puede calcularse el máximo común divisor de dos
polinomios, aunque ese tema queda fuera del objetivo de este libro.
2.2.3. Resumen
En este capítulo hemos descrito un algoritmo (en dos versiones) que permite
desarrollar cualquier número real
\(\alpha\)
en una fracción continua, es decir, obtener una fracción continua que le
corresponda.
Si
\(\alpha\)
es un número racional, la fracción continua obtenida es finita. En ese caso el
proceso puede recorrerse en sentido inverso para recuperar el valor del número.
Por ejemplo,
Por consiguiente, en lugar de decir que «la fracción continua
\([2;3,1,6]\) corresponde al número
\(\frac{61}{27}\)», podemos afirmar que
«el número
\(\frac{61}{27}\)
es igual a la fracción continua
\([2;3,1,6]\)».
O, con mayor precisión todavía, podemos decir que
\(
\frac{61}{27}
\)
y
\(
[2;3,1,6]
\)
son dos notaciones diferentes del mismo número.
Sin embargo, cuando
\(\alpha\)
es irracional, la situación cambia por completo. En ese caso la correspondencia
entre un número y su fracción continua solo está definida en un sentido:
el número
\(\alpha\)
determina una fracción continua infinita, pero no a la inversa.
No podemos calcular una fracción continua infinita mediante el mismo
procedimiento con el que obtenemos
\([2;3,1,6]\).
Hasta este momento todavía no sabemos cuál es el significado exacto de una
fracción continua infinita.
Este problema se resolverá en el Capítulo 5, donde se demostrará que las
fracciones continuas infinitas tienen un significado perfectamente definido.
Mientras tanto, el lector deberá recordar, al estudiar los Capítulos 3 y 4,
que todavía no disponemos de esa interpretación.
Capítulo 3 — Convergentes
3.1. El concepto de convergente
3.1.1. Definición preliminar de convergente
Dada una fracción continua, conservemos únicamente los términos
\(a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n\)
y eliminemos todos los restantes
\(a_{n+1},a_{n+2},\ldots\).
El número obtenido se denomina
n-ésimo convergente
y se representa por
\(
\frac{p_n}{q_n}.
\)
Figura 3.1.
Así, para
\(n=0\)
obtenemos el convergente de orden cero:
\[
\frac{p_0}{q_0}
=
[a_0]
=
\frac{a_0}{1}.
\]
Nota 1.
Esta no es la definición definitiva de convergente.
La definición correcta aparecerá en el apartado 3.1.3.
Nota 2.
El concepto de convergente es válido tanto para fracciones continuas finitas
como infinitas.
En una fracción continua finita, el último convergente coincide con la propia
fracción continua.
Por ejemplo, para el número
\(
\frac{61}{27}
\)
obtenemos:
Si la fracción continua es infinita, la sucesión de convergentes también es
infinita. Todavía no conocemos el significado exacto de esa sucesión; lo iremos
descubriendo en los apartados siguientes.
Las fracciones continuas infinitas todavía no tienen para nosotros un
significado preciso; sin embargo, esto no impide estudiar sus convergentes.
Por ejemplo, para la fracción continua
\(
[1;2,2,2,\ldots]
\)
obtenemos la sucesión
\[
\frac{p_0}{q_0}
=
\frac11,
\]
\[
\frac{p_1}{q_1}
=
[1;2]
=
\frac32,
\]
\[
\frac{p_2}{q_2}
=
[1;2,2]
=
\frac75,
\]
\[
\cdots
\]
Sugerencia.
¿No será precisamente la posibilidad de construir los convergentes la que
permita dar significado a las fracciones continuas infinitas? Tal vez los
convergentes sean aproximaciones sucesivas cuyo límite determine el valor de la
fracción continua.
Esta idea constituye la semilla de la teoría que desarrollaremos más adelante.
En el Capítulo IV demostraremos que los convergentes de una fracción
continua finita son aproximaciones sucesivas del número representado.
Por el momento comprobaremos este hecho para
\(
\frac{61}{27}.
\)
Obsérvese que
\[
\frac{61}{27}\approx2.259.
\]
Tabla 2.
Aproximación
Valor
Error
1
\(\frac21\)
0.259
2
\(\frac73\approx2.333\)
−0.074
3
\(\frac94=2.250\)
0.009
Observamos que los errores forman una sucesión cuyos signos alternan y cuya
magnitud disminuye. Más adelante veremos que este comportamiento constituye una
propiedad general.
3.1.2. Cómo generar los convergentes
No es necesario escribir toda la fracción continua y efectuar cada vez el
laborioso proceso de evaluación para obtener el convergente de orden
\(n\).
Existen fórmulas recursivas muy sencillas para calcular
\(p_n\)
y
\(q_n\).
En primer lugar,
Antes de demostrar las fórmulas (4), conviene precisar su significado.
Por el momento no asignaremos un significado independiente a
\(p_n\)
y
\(q_n\)
(aunque esta restricción desaparecerá en el apartado siguiente).
Las fórmulas (4) deben interpretarse del siguiente modo:
podemos tomar
\(p_n\)
y
\(q_n\),
o cualquier par de números proporcionales a ellos, como numerador y
denominador del convergente de orden
\(n\).
Demostración.
Demostraremos las fórmulas (4) por inducción matemática.
Supongamos que son ciertas para un índice
\(k\):
y demostraremos que entonces también son válidas para
\(k+1\).
Analicemos las expresiones
Figura 3.2.
Para pasar de
\(
\dfrac{p_k}{q_k}
\)
a
\(
\dfrac{p_{k+1}}{q_{k+1}}
\),
basta sustituir
\(a_k\)
por
\(
a_k+\dfrac1{a_{k+1}}.
\)
Realicemos esta sustitución en las fórmulas (5).
Obsérvese que
\(p_{k-2}\),
\(q_{k-2}\),
\(p_{k-1}\)
y
\(q_{k-1}\)
permanecen invariables, ya que no dependen de
\(a_k\).
Obtenemos
Como
\(p_{k+1}\)
y
\(q_{k+1}\)
están definidos únicamente salvo un factor de proporcionalidad,
podemos eliminar el factor
\(
\dfrac1{a_{k+1}}
\)
y sustituir las expresiones entre corchetes mediante las fórmulas (5):
Hemos obtenido así las fórmulas (5) sustituyendo
\(k\)
por
\(k+1\).
Además, ya habíamos comprobado que las fórmulas (4) eran válidas para
\(n=2\).
Por inducción matemática quedan demostradas para
\(n=2,3,\ldots,s\).
Fin de la demostración.
■
3.1.3. Definición definitiva de convergente
Ha llegado el momento de modificar el significado del término
convergente.
Supondremos que los convergentes de orden cero y uno son,
respectivamente,
donde
\(p_0=a_0\),
\(q_0=1\),
\(p_1=a_0a_1+1\)
y
\(q_1=a_1\).
Asimismo, para
\(n=2,3,\ldots,s\),
los convergentes serán las fracciones cuyos numeradores y denominadores
vienen dados por las fórmulas (4).
El lector puede preguntarse si realmente hemos cambiado el concepto de
convergente.
La respuesta es afirmativa.
Un mismo número puede escribirse de muchas maneras.
Por ejemplo,
\(0.5\),
\(\frac12\)
y
\(\frac24\)
representan el mismo número.
Hasta ahora llamábamos convergente simplemente a un número,
independientemente de la notación empleada.
Así, en el ejemplo del apartado 3.1.2, a la pregunta
«¿Cuál es el segundo convergente de
\(
\frac{61}{27}
\)?»
podíamos responder
\(
2\frac14,
\)
\(2.25\),
\(
\frac94,
\)
\(
\frac{18}{8},
\)
etc.
Todas esas expresiones representan el mismo número.
A partir de ahora, el término
convergente
designará no solo el número, sino también una representación concreta de
ese número.
Por ello diremos que el segundo convergente de
\(
\frac{61}{27}
\)
es
\(
\frac94,
\)
mientras que
\(
\frac{18}{8}
\)
se considerará una respuesta incorrecta.
De este modo quedan perfectamente determinados el numerador y el
denominador de cada convergente, y no solo su clase de proporcionalidad.
Esta convención será esencial en el desarrollo posterior de la teoría de
las fracciones continuas.
Si observamos que todas las letras de las fórmulas (4) representan números
naturales, resulta inmediato comprobar que los denominadores
(y también los numeradores) de los convergentes sucesivos crecen
estrictamente.
En efecto,
\[
p_1=p_0a_1+1,
\qquad
q_0=1,
\qquad
q_1=a_1,
\]
de donde
\(p_1>p_0\),
mientras que
\(q_0\)
puede coincidir con
\(q_1\).
Finalmente obtenemos
Observación.
Aunque
\(
\frac94
\)
y
\(
\frac{18}{8}
\)
representan el mismo número racional, son fracciones distintas.
Las sucesiones (6) pueden ser finitas o infinitas, según que la fracción
continua que las genera sea finita o infinita.
3.1.4. Cálculo de los convergentes
Presentamos ahora un procedimiento muy cómodo para organizar los cálculos al
obtener los convergentes.
Los valores de
\(a_i\)
se escribirán en la primera fila,
los de
\(p_i\)
en la segunda,
y los de
\(q_i\)
en la tercera.
Figura 3.3.
Se comienza rellenando la primera fila y las dos primeras columnas.
Las nuevas columnas se calculan siempre del mismo modo:
Figura 3.4.
1. Multiplicar la columna
\(
\begin{bmatrix}
p_{n-1}\\
q_{n-1}
\end{bmatrix}
\)
por
\(a_n\).
2. Sumar el resultado a la columna anterior.
El mismo procedimiento resulta muy útil para calcular el valor de una fracción
continua finita: la respuesta aparece directamente en la última columna,
\(
\begin{bmatrix}
p_s\\
q_s
\end{bmatrix}.
\)
Este método es mucho más sencillo que evaluar la fracción paso a paso.
El lector puede practicar rellenando la tabla correspondiente a la fracción
continua
\(
[0;3,14,1,2,5].
\)
Figura 3.5.
3.1.5. Cocientes completos
Con frecuencia resulta necesario interrumpir el desarrollo de un número en
fracción continua antes de llegar al final.
Por ejemplo,
\[
\frac{61}{27}
=
2+\frac{1}{\frac{27}{7}},
\]
o bien
\[
\frac{61}{27}
=
2+\frac{1}{3+\frac{7}{6}}.
\]
Los números
\(
\frac{27}{7}
\)
y
\(
\frac76
\)
que aparecen en estas expresiones reciben el nombre de
cocientes completos.
(La definición formal se dará a continuación.)
Así pues, un cociente completo es una fracción continua que ya no comienza por
\(a_0\), sino por un término arbitrario
\(a_n\);
es decir, se obtiene eliminando los términos comprendidos entre
\(a_0\)
y
\(a_{n-1}\).
Utilizaremos la notación
Los cocientes completos poseen una propiedad muy importante:
si dos cocientes completos consecutivos coinciden,
es decir,
si
\(
\alpha_n=\alpha_{n+k}
\)
(\(k>0\)),
esa igualdad se repetirá para todos los restantes,
La demostración es inmediata y no la desarrollaremos aquí.
Basta observar que, al aplicar el algoritmo de desarrollo en fracción continua,
una vez alcanzado un cociente completo
\(\alpha_n\),
todos los pasos posteriores son independientes de los anteriores y dependen
únicamente del propio
\(\alpha_n\).
Si
\(
\alpha_{n+k+1}
\)
es el cociente siguiente a
\(
\alpha_{n+k},
\)
y
\(
\alpha_n
\)
es un número natural,
entonces
\(
\alpha_n=a_n,
\)
y la barra vertical de (9) puede sustituirse por una coma.
Esto ocurre precisamente cuando
\(a_0=\alpha\).
La fracción continua (8) puede ser finita o infinita.
El significado de las fracciones continuas infinitas se estudiará en el capítulo siguiente.
Ya estamos en condiciones de obtener una fórmula que relacione los cocientes
completos con los convergentes.
Observemos la fórmula (7): si eliminamos el término
\(
\dfrac1{\alpha_n}
\)
del miembro derecho, la parte restante de
\(\alpha\)
es precisamente el convergente
\(
\dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}},
\)
que, utilizando las fórmulas (4), puede escribirse como
Veamos ahora algunas propiedades importantes de los convergentes.
Propiedad 1.
Todo convergente de índice impar es mayor que sus dos convergentes vecinos,
mientras que todo convergente de índice par es menor que los suyos.
Al comprobar esta propiedad debe recordarse que el convergente de orden cero y
el último (cuando existe) solo tienen un vecino.
La fórmula (13) demuestra inmediatamente esta propiedad, ya que los
convergentes sucesivos son alternativamente mayores y menores que el anterior.
Propiedad 2.
La diferencia entre dos convergentes consecutivos disminuye en valor absoluto a
medida que aumenta el número de convergente.
En efecto,
\[
|\Delta_n|
=
\frac1{q_nq_{n+1}},
\]
\[
|\Delta_{n+1}|
=
\frac1{q_{n+1}q_{n+2}}.
\]
Como
\(q_{n+2}>q_n\),
el denominador de la segunda fracción es mayor y, por tanto,
\[
|\Delta_{n+1}|<|\Delta_n|.
\]
Propiedad 3.
El valor exacto de una fracción continua finita
\(\alpha\)
queda comprendido entre dos convergentes consecutivos.
Todos los convergentes de índice par son menores que
\(\alpha\),
mientras que los de índice impar son mayores.
Naturalmente, el último convergente debe excluirse de esta afirmación, ya que
coincide exactamente con
\(\alpha\).
En lugar de presentar una demostración formal, nos limitaremos a ilustrar la
idea principal mediante las Figuras 3.6 y 3.7.
La Figura 3.6 muestra la disposición de los convergentes sobre la recta
numérica. Los números que aparecen no representan el valor del convergente,
sino su orden. El punto situado más a la izquierda corresponde al convergente
de orden cero (es decir, a la parte entera de la fracción continua).
Figura 3.6.
Para pasar del convergente de orden 0 al de orden 1 es necesario avanzar hacia
la derecha. Este desplazamiento (es decir,
\(\Delta_0\))
aparece representado por el arco superior.
Para pasar del convergente de orden 1 al de orden 2 debemos desplazarnos hacia
la izquierda; este nuevo desplazamiento
(\(\Delta_1\))
es más corto que
\(\Delta_0\).
Después volvemos a avanzar hacia la derecha, luego otra vez hacia la izquierda,
y así sucesivamente. Cada nuevo desplazamiento es menor que el anterior.
La Figura 3.6 ilustra claramente la Propiedad 3.
La Figura 3.7 ofrece otra representación de la disposición relativa de los
convergentes sucesivos.
En el eje horizontal se representa el número de orden del convergente, mientras
que el eje vertical representa su valor.
La línea discontinua indica el valor exacto de
\(\alpha\).
Figura 3.7.
Propiedad 4.
El error absoluto al aproximar el número
\(\alpha\)
mediante el convergente
\(
\dfrac{p_n}{q_n}
\)
es menor que
\(
\dfrac1{q_n^2},
\)
es decir,
Esta estimación resulta poco práctica porque, al aproximar
\(\alpha\)
mediante
\(
\dfrac{p_n}{q_n},
\)
es posible que todavía no conozcamos el convergente siguiente.
Por ello sustituimos
\(q_{n+1}\)
por el número menor
\(q_n\),
obteniendo una desigualdad más débil pero suficiente:
La Propiedad 4 muestra que los convergentes constituyen aproximaciones
extraordinariamente buenas de los números reales.
Si
\(
\dfrac{p_n}{q_n}
\)
no fuera un convergente, el error absoluto podría ser incluso mayor que
\(
\dfrac1{2q_n}.
\)
3.2.3. Irreducibilidad de los convergentes
Consideremos una propiedad más de los convergentes.
Propiedad 5.
Todos los convergentes son fracciones irreducibles.
Los numeradores y denominadores de los convergentes vienen dados por las
fórmulas (4). Supongamos que el convergente
\(
\dfrac{p_n}{q_n}
\)
pudiera simplificarse; es decir, que numerador y denominador tuviesen un
divisor común
\(\lambda>1\):
\[
p_n=\lambda p_n',
\qquad
q_n=\lambda q_n',
\]
donde
\(p_n'\)
y
\(q_n'\)
son números naturales.
Entonces, por la fórmula (12),
Pero esto es imposible, ya que el miembro izquierdo es divisible por
\(\lambda\),
mientras que el derecho no lo es.
Por consiguiente,
\(
\dfrac{p_n}{q_n}
\)
no puede reducirse.
Como entre todas las fracciones equivalentes existe una única irreducible,
podemos reformular la definición de convergente del modo siguiente:
Definición.
Un convergente es la fracción irreducible que representa el valor de
una fracción continua truncada.
Capítulo 4 — Fracciones continuas infinitas
4.1. Números reales
4.1.1. El abismo entre lo finito y lo infinito
Sabemos calcular el valor de una fracción continua finita y esperamos que el
lector no desee aprender cómo tratar las infinitas. Precisamente son esos
deseos los que impulsan el progreso científico.
Todo número racional puede expresarse mediante una fracción continua finita.
Recíprocamente, toda fracción continua finita representa un número racional.
¿Será posible que las fracciones continuas infinitas permitan representar
números irracionales?
Muchos conceptos matemáticos que conocemos en versión finita poseen un análogo
infinito. Veamos algunos ejemplos.
El significado de una fracción decimal es perfectamente claro. Por ejemplo,
\[
0.33=\frac{33}{100}.
\]
Pero, ¿qué significa
\(0.333\ldots\)?
También comprendemos sin dificultad una suma con un número finito de sumandos.
Por ejemplo,
\[
1+\frac12+\frac14=\frac74.
\]
Pero, ¿qué significado tiene la suma infinita
\[
1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots\;?
\]
Existen polinomios finitos, por ejemplo
\[
1+2x+3x^2.
\]
Pero, ¿es legítimo operar con un «polinomio» formado por un número infinito de
términos, como
\[
1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots\;?
\]
A pesar de la aparente semejanza, entre lo finito y lo infinito existe un
profundo abismo. Los matemáticos tardaron siglos en reconocerlo.
Hasta el siglo XIX fue frecuente ignorar este problema y tratar los objetos
infinitos como si fueran finitos, obteniéndose a veces conclusiones absurdas.
En el siglo XIX se fue encontrando poco a poco el modo de trabajar con el
infinito y se construyeron puentes para salvar ese abismo.
Nosotros cruzaremos uno de esos puentes.
Nota.
Los puntos suspensivos poseen distintos significados.
En una expresión del tipo
\(
1+x+\cdots+x^n
\)
indican la omisión de términos; mientras que en
\(
1+x+\cdots
\)
significan «y así sucesivamente para siempre».
También pueden emplearse para indicar la omisión de filas completas.
Obsérvese que una fracción decimal finita no se diferencia de una fracción
ordinaria más que en la notación.
La fracción
\(0.33\)
tiene numerador 33 y denominador 100.
Pero, ¿cuál sería el numerador de la fracción infinita
\(0.333\ldots\)?
No conocemos respuesta a esa pregunta, lo que ya indica que una fracción
decimal infinita no puede tener el mismo significado que una finita.
El académico ruso N. N. Luzin decía que escribir el símbolo
\(0.333\ldots\)
todavía no da significado alguno; únicamente produce un patrón.
Sin embargo, sí podemos dar significado a la suma
\[
1+\frac12+\frac14
\]
porque podemos calcularla mediante sumas sucesivas:
En cambio, no podemos determinar del mismo modo la suma infinita
\[
1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots,
\]
ya que el proceso de sumas sucesivas nunca termina.
Y este no es un simple obstáculo técnico, sino el problema fundamental.
No basta con decir que las sumas parciales proporcionan aproximaciones al valor
de la suma infinita.
Antes de hablar de aproximaciones debemos saber qué significa exactamente esa
suma infinita.
Eso es precisamente lo que comenzaremos a hacer ahora.
Recordemos que pretendíamos cruzar el abismo entre lo finito y lo infinito por
uno de los muchos puentes posibles.
El puente que utilizaremos recibe el nombre de
principio de los segmentos encajados,
o también
axioma de continuidad de Cantor.
4.1.2. Principio de los segmentos encajados
Con frecuencia afirmamos que la recta numérica es continua.
Las matemáticas intentan sustituir las intuiciones por afirmaciones lógicamente
rigurosas.
El principio de los segmentos encajados es precisamente el axioma que expresa
de forma exacta la propiedad de continuidad de la recta real.
Recordemos que un segmento es el conjunto de puntos comprendidos entre
dos puntos distintos
\(a\)
y
\(b\)
de la recta.
Nota histórica.
Georg Cantor (1845–1918), gran matemático alemán, creó la teoría de conjuntos,
que se convirtió en uno de los fundamentos de las matemáticas modernas.
Llamaremos segmento al conjunto formado por los extremos
\(a\) y \(b\) y todos los puntos comprendidos entre ellos. Lo denotaremos por
\[
[a,b].
\]
El conjunto formado por todos los puntos situados entre
\(a\)
y
\(b\),
pero sin incluir los extremos, se llama
intervalo
y se representa por
\[
(a,b).
\]
Aunque la diferencia entre un segmento y un intervalo sea únicamente dos
puntos, esa diferencia resulta muy importante.
Si solo uno de los extremos pertenece al conjunto, obtenemos un
intervalo semiabierto.
La misma letra puede designar tanto un punto de la recta como el número real
correspondiente.
1. Cada segmento (a partir del segundo) está contenido en el anterior.
2. La longitud de los segmentos tiende a cero cuando
\(n\to\infty\).
La primera propiedad significa que todos los puntos del segmento
\(n\)-ésimo
pertenecen también al segmento anterior (Figura 4.1).
Figura 4.1.
La segunda propiedad significa que, dado cualquier número positivo
\(\varepsilon\),
existe un índice
\(n\)
tal que la longitud del segmento
\([a_n,b_n]\)
es menor que
\(\varepsilon\).
Naturalmente, todos los segmentos posteriores serán todavía más cortos.
En estas condiciones existe un único punto que pertenece a
todos
los segmentos.
Axioma de continuidad de Cantor.
Si una sucesión infinita de segmentos de una recta verifica que
cada segmento está contenido en el anterior y que la longitud de los segmentos
tiende a cero, entonces existe un único punto común a todos ellos.
Expliquemos ahora con más detalle este axioma.
La Figura 4.1 representa los primeros segmentos de la sucesión.
Llamaremos paso
\(n\)
al tránsito desde el segmento
\(n\)
al segmento
\(n+1\).
Cada paso elimina algunos puntos.
Por ejemplo, el punto
\(A\)
pertenece al primer segmento, pero no al segundo; por tanto queda eliminado en
el primer paso.
El punto
\(B\)
sobrevive al primer paso, pero desaparece en el segundo.
El punto
\(C\)
sobrevive a los dos primeros pasos y desaparece en el tercero, y así
sucesivamente.
Cada punto del primer segmento tiene su propio destino.
Algunos sobreviven hasta el paso mil, pero desaparecen en el mil uno.
El principio de los segmentos encajados afirma que existe un punto
\(X\)
que nunca será eliminado; es decir, sobrevive a todos los pasos y pertenece a
todos los segmentos, cualquiera que sea su número.
El axioma afirma además que ese punto es único.
La unicidad se introdujo en la formulación porque también puede demostrarse.
Supongamos, en efecto, que existieran dos puntos distintos,
\(X\)
e
\(Y\),
y llamemos
\(d\)
a la distancia entre ellos.
Como la longitud de los segmentos tiende a cero, existe un índice
\(n\)
tal que
\[
|a_n,b_n|<d.
\]
Pero un segmento de longitud menor que
\(d\)
no puede contener simultáneamente los dos puntos
\(X\)
e
\(Y\).
Por tanto, no pueden existir dos puntos distintos pertenecientes a todos los
segmentos.
En este caso, el único punto perteneciente a todos los segmentos es el
punto
\(0\).
En todos estos ejemplos hemos considerado una sucesión de segmentos encajados.
En cada caso ha resultado fácil identificar el único punto común a todos ellos.
El principio de los segmentos encajados afirma que ese punto
siempre
existe, cualquiera que haya sido el procedimiento utilizado para construir la
sucesión, siempre que se cumplan las dos condiciones del axioma.
Observación.
Si en el Ejemplo 2 hubiéramos considerado la sucesión de
intervalos
esa sucesión no tendría ningún punto común, aunque los intervalos estén
encajados y sus longitudes tiendan a cero.
En efecto, el punto
\(0\)
no pertenece a ninguno de ellos, mientras que cualquier otro punto del
intervalo
\((0,1)\)
deja de pertenecer a la sucesión a partir de cierto paso.
Por tanto, el axioma de Cantor debe aplicarse a
segmentos,
no a intervalos.
El principio de los segmentos encajados expresa precisamente la continuidad de
la recta real: los segmentos convergen hacia un punto de la recta y nunca hacia
un «agujero».
Veamos ahora qué ocurriría si elimináramos de la recta el punto
\(\tfrac12\).
El conjunto restante,
\(M\),
ya no podría llamarse recta, pues quedaría formado por dos semirrectas abiertas,
Repitamos entonces el Ejemplo 1, pero considerando segmentos de
\(M\).
Ahora estos ya no son segmentos de una recta, pues contienen dos extremos y
todos los puntos de
\(M\)
situados entre ellos.
Aunque la longitud de dichos segmentos siga tendiendo a cero, ya no existe
ningún punto de
\(M\)
que pertenezca a todos ellos.
Por consiguiente, el principio de los segmentos encajados deja de ser válido en
\(M\).
4.1.3. El conjunto de los números racionales
Sigamos llenando progresivamente la recta numérica con números.
Comenzamos marcando los enteros.
El conjunto de todos ellos se denota por
\(Z\).
No hace falta mucha reflexión para comprender que
\(Z\)
no llena completamente la recta.
Entre dos enteros consecutivos queda un «bloque sólido» de puntos (un
intervalo) que todavía carecen de significado.
El paso siguiente consiste en marcar los números racionales.
Basta con hacerlo en el intervalo
\([0,1]\),
pues todos los racionales de la recta se obtienen desplazando ese intervalo un
número entero de unidades hacia la izquierda o hacia la derecha.
Marcaremos los racionales del segmento
\([0,1]\)
del modo siguiente:
Paso 1.
Marcar la única fracción con denominador 2:
\[
\frac12.
\]
Paso 2.
Marcar las fracciones de denominador 3 en orden creciente:
\[
\frac13,\;
\frac23.
\]
Paso 3.
Marcar las fracciones de denominador 4:
\[
\frac14,\;
\left(\frac24\right),\;
\frac34.
\]
La fracción
\(\frac24\)
se escribe entre paréntesis porque ese punto ya había aparecido anteriormente.
Paso \(n-1\).
Marcar las fracciones de denominador
\(n\),
ordenándolas por numerador:
Si aparece una fracción reducible, se tacha, pues ese punto ya estaba marcado
con anterioridad.
Este procedimiento es infinito.
Aunque nunca pueda completarse, garantiza que
todos los números racionales del intervalo
\([0,1]\)
acabarán apareciendo.
Por ejemplo, la fracción
\[
\frac{37}{89}
\]
será marcada cuando lleguemos al denominador 89.
En ese momento escribiremos
Supongamos que el proceso se hubiera completado.
Entonces todos los puntos racionales del intervalo
\([0,1]\)
estarían ya marcados.
Desplazando esos puntos una, dos, tres, … unidades hacia la izquierda y hacia
la derecha obtendríamos todos los racionales de la recta.
Denotaremos el conjunto de todos los números racionales por
\(Q\).
4.1.4. Existencia de puntos no racionales en la recta
¿Queda completamente llena la recta numérica por los puntos de
\(Q\)?
La respuesta es negativa.
Existen puntos de la recta que no pertenecen a
\(Q\),
es decir, que no son racionales.
Sin embargo, esto no resulta tan evidente como ocurría con el conjunto
\(Z\),
y será necesario un razonamiento más sutil para demostrarlo.
Según la tradición, Pitágoras formuló el siguiente problema.
Los pitagóricos realizaron un gran descubrimiento: no existe ningún número
racional cuyo cuadrado sea igual a 2.
Una formulación equivalente es la siguiente: la diagonal de un cuadrado es
inconmensurable con su lado.
Si marcamos todos los números racionales sobre la recta numérica
(Figura 4.2), el arco de circunferencia cuyo radio es la diagonal del
cuadrado \(OA\) pasa por un punto de la recta que no pertenece al conjunto
\(Q\).
Figura 4.2.
Sin embargo, el conjunto
\(Q\)
es denso en la recta numérica.
Esto significa que cualquier segmento de la recta, por pequeño que sea,
contiene números racionales.
Por consiguiente, aunque los puntos racionales no llenen completamente la
recta, tampoco existen segmentos totalmente libres de racionales.
Esto se deduce fácilmente recordando el procedimiento utilizado para marcar los
racionales en el intervalo
\([0,1]\).
Consideremos ahora una sucesión de segmentos encajados
cuyos extremos sean números racionales, es decir, segmentos del conjunto
\(Q\).
El principio de los segmentos encajados no es válido en
\(Q\).
Aunque se satisfagan las hipótesis del axioma de Cantor, puede no existir un
punto racional perteneciente a todos los segmentos.
Enseguida veremos que este hecho permite introducir un nuevo tipo de números:
los irracionales.
4.1.5. Fracciones decimales infinitas
Atribuyamos el siguiente significado al símbolo de una fracción decimal
infinita.
Una fracción decimal infinita representará una sucesión de segmentos
encajados del conjunto
\(Q\).
Al truncar la expansión decimal después de la
\(n\)-ésima cifra obtenemos el extremo izquierdo del segmento, y sumando una
unidad a esa última cifra obtenemos el extremo derecho.
En cada paso la longitud de los segmentos disminuye por un factor 10.
Por tanto, su longitud tiende a cero, independientemente de la fracción
decimal considerada.
Veamos ahora dos ejemplos que, aunque parezcan similares, son en realidad muy
distintos.
¿Existe un punto perteneciente a todos estos segmentos?
Aquí entendemos «punto» como un elemento del conjunto
\(Q\).
La respuesta es afirmativa:
\[
x=\frac13.
\]
En efecto,
\[
0.3<\frac13<0.4,
\]
\[
0.33<\frac13<0.34,
\tag{15}
\]
\[
0.333<\frac13<0.334,
\]
\[
\cdots
\]
Por esta razón se dice que el número
\(
\frac13
\)
es el valor del decimal infinito
\(0.333\ldots\).
La definición rigurosa aparecerá un poco más adelante; antes estudiaremos otro
ejemplo.
Ejemplo 2.
Construyamos dos sucesiones:
(a) el mayor decimal con
0, 1, 2, …, \(n\), … cifras decimales cuyo cuadrado es menor que 2;
(b) el menor decimal con
0, 1, 2, …, \(n\), … cifras decimales cuyo cuadrado es mayor que 2.
Obtenemos sucesivamente:
\[
1^2<2,
\qquad
2^2>2;
\]
\[
1.4^2<2,
\qquad
1.5^2>2;
\]
\[
1.41^2<2,
\qquad
1.42^2>2;
\]
\[
\cdots
\]
Este proceso puede continuarse indefinidamente.
¿Existe algún punto racional que pertenezca a todos los segmentos
Dicho de otro modo, ¿existe un número racional
\(x\)
que satisfaga simultáneamente las desigualdades
\[
1\le x\le2,
\]
\[
1.4\le x\le1.5,
\tag{16}
\]
\[
1.41\le x\le1.42,
\]
\[
\cdots
\]
Observación.
Aquí utilizamos el signo
\(\le\)
(y no
\(<\))
porque buscamos un punto perteneciente al segmento; por tanto, dicho punto
puede coincidir con uno de sus extremos.
Obsérvese que el número del Ejemplo 1 siempre pertenece al segmento.
Si hubiéramos comenzado con la fracción
\(0.2000\ldots\),
correspondiente al número
\(\frac15\),
también habría sido necesario utilizar el signo
\(\le\).
Es bien sabido que no existe ningún número racional que satisfaga todas las
desigualdades (16).
Esto significa que cualquier número racional acaba quedando excluido de la
sucesión de segmentos.
También significa que la fracción decimal infinita
\[
1.41421356\ldots
\]
obtenida mediante este procedimiento carece todavía de significado.
Ha llegado el momento de proporcionárselo.
4.1.6. Números irracionales
La notación
\[
\frac13
\]
puede interpretarse de dos maneras:
(a) como la fracción
\(\frac13\),
es decir, como el cociente entre los números naturales 1 y 3;
(b) como el decimal infinito
\(0.333\ldots\),
es decir, como el punto común a la sucesión de segmentos
La primera interpretación no sirve para el número buscado mediante las
desigualdades (16).
Sin embargo, ese número sí corresponde a un decimal infinito; es decir, al
sistema de segmentos encajados
\[
[1,2],\;
[1.4,1.5],\;
[1.41,1.42],\;
\ldots
\]
Adoptaremos el convenio de que un decimal infinito, o, lo que es lo mismo,
una sucesión de segmentos encajados, define un número.
Este número pertenece a una nueva clase: no puede representarse como cociente
de dos números naturales.
A estos nuevos números los llamaremos
irracionales.
Aclaremos todavía un poco más la idea de introducir los números
irracionales.
La sucesión infinita de segmentos encajados (15) define un número.
En este caso resulta ser el número racional
\[
\frac13.
\]
Una vez identificado ese número podemos trabajar con él sin necesidad de hacer
referencia a la sucesión (15).
La sucesión de segmentos (16) también define un número, pero esta vez se trata
de un número de un tipo nuevo (hasta ahora suponíamos que solo existían los
racionales), y únicamente había aparecido bajo la forma de la sucesión (16).
4.1.7. Números reales
El nombre que engloba tanto a los números racionales como a los irracionales es
el de números reales.
En otras palabras, el conjunto de los números reales,
\(R\),
es la unión de los conjuntos de números racionales e irracionales.
Cuando un concepto matemático se amplía, los objetos antiguos pasan a ser casos
particulares de un concepto más general.
Debe existir, por tanto, un procedimiento universal de construcción y una
notación universal para todos los números reales.
La notación universal, que constituye también el método universal de
construcción, será la de los decimales infinitos.
Algunos números racionales pueden escribirse mediante decimales finitos.
Sin embargo, para disponer de una notación única para todos los números
reales, acordaremos convertir cualquier decimal finito en un decimal infinito.
Por ejemplo,
\[
0.5=0.5000\ldots,
\]
\[
0.5=0.4999\ldots.
\]
Para que cada número real tenga una representación única adoptaremos el
siguiente convenio:
Convenio.
Queda prohibido utilizar decimales infinitos cuyo período sea 9.
Así, el número
\(0.5\)
deberá escribirse únicamente como
\[
0.5000\ldots
\]
Gracias a este convenio, cada número real queda representado de forma única
mediante un decimal infinito; es decir, dos decimales infinitos distintos nunca
representarán el mismo número real.
Conviene subrayar que esta definición identifica un número real con un decimal
infinito.
Algunos números reales pueden escribirse también de otras maneras.
Por ejemplo, los racionales mediante fracciones ordinarias.
Las raíces de números naturales suelen escribirse como
\(\sqrt2\),
\(\sqrt3\),
…,
\(\sqrt[n]{2}\),
…,
y algunos números poseen símbolos propios, como
\(\pi\),
\(e\),
etc.
Sin embargo, esas representaciones no constituyen la definición del número.
La representación mediante decimales infinitos proporciona un método universal
para construir y representar cualquier número real.
Este procedimiento no crea el conjunto
\(R\)
«de la nada».
Supone que ya existe un subconjunto de
\(R\),
el conjunto de los decimales finitos.
El método consiste en ampliar ese conjunto mediante sucesiones de segmentos
encajados cuyos extremos vienen dados por decimales finitos.
Los números reales también podrían definirse partiendo de otros conjuntos
densos de la recta; el de los decimales finitos es simplemente el más cómodo.
Sería un error pensar que con esto ya hemos construido toda la teoría de los
números reales.
La definición dada hasta ahora es solo el primer paso.
Todavía será necesario introducir un orden entre los números reales,
definir las operaciones (suma, producto, etc.) y desarrollar otras muchas
propiedades.
Nuestro objetivo aquí es únicamente disponer de un fundamento para interpretar
las fracciones continuas infinitas.
4.1.8. Representación de los números reales en la recta
que recibe el nombre de
aproximación por exceso con \(n\) cifras decimales.
Si
\(\alpha_n=9\),
el acarreo puede modificar cifras anteriores.
Por ejemplo,
\[
x=\frac{892}{900}=0.99111\ldots
\]
produce
\[
x_2=0.99,
\qquad
\overline{x}_2=1.00.
\]
Dejando por ahora a un lado la fundamentación lógica, podemos escribir las
desigualdades aparentes
\[
x_n\le x<\overline{x}_n.
\]
Pregunta al lector.
¿Por qué en la desigualdad anterior el signo de la izquierda es
\(\le\),
mientras que el de la derecha es
\(<\)?
¿Podrían invertirse ambos signos modificando ligeramente las definiciones
anteriores?
Es importante el siguiente hecho:
si todos los números reales se representan sobre la recta, ésta queda
completamente llena.
Vamos a formular esta afirmación con precisión y demostrarla.
Teorema 1
Cada número real corresponde a un único punto de la recta numérica.
Sea
\[
x=\alpha_0,\alpha_1\alpha_2\alpha_3\ldots
\]
un número real positivo.
Este número determina una sucesión infinita de segmentos encajados
cuyas longitudes forman una progresión geométrica de razón
\[
\frac1{10}.
\]
Por el axioma de continuidad de Cantor existe un único punto perteneciente a
todos esos segmentos.
Ese punto es precisamente el que representa al número
\(x\).
Teorema 2
Cada punto de la recta numérica corresponde a un único número real.
Sea
\(x\)
un punto cualquiera de la recta (situado, por simplicidad, en el semieje
positivo).
Si
\(x\)
es un entero, no hay nada que demostrar.
En caso contrario,
\(x\)
está comprendido entre dos enteros consecutivos
\(\alpha_0\)
y
\(\alpha_0+1\).
Comenzamos la representación decimal escribiendo su parte entera:
\[
x=\alpha_0\ldots
\]
Dividimos ahora el segmento
\[
[\alpha_0,\alpha_0+1]
\]
en diez partes iguales.
Si el punto
\(x\)
no coincide con uno de los puntos de división, quedará comprendido entre dos
de ellos, lo que determina la primera cifra decimal
\(\alpha_1\).
Así obtenemos
Recíprocamente, todo decimal periódico representa un número racional.
De ello se deduce que todo número irracional debe expresarse mediante un
decimal infinito no periódico.
Por ejemplo, aplicando el algoritmo de extracción de raíces podemos calcular
tantas cifras decimales como deseemos de
\[
\sqrt2=1.4142135\ldots
\]
Siempre podremos obtener una cifra más.
Aunque no conozcamos una ley explícita que genere todas las cifras de esta
expansión decimal, sabemos con certeza que no es periódica.
Recíprocamente, todo decimal infinito no periódico representa un número
irracional.
Consideremos, por ejemplo,
\[
0.1010010001\ldots
\]
donde el número de ceros entre dos unos consecutivos aumenta en una unidad cada
vez.
Este decimal no es periódico y, por tanto, representa un número irracional.
En este caso sí conocemos una ley sencilla para generar sus cifras:
si
\(u_n\)
es la
\(n\)-ésima cifra decimal, entonces
\[
u_n=
\begin{cases}
1,&\text{si }n=\dfrac{k(k+1)}2,\\[1ex]
0,&\text{en otro caso.}
\end{cases}
\]
4.2. Fracciones continuas infinitas
4.2.1. Valor numérico de una fracción continua infinita
Si truncamos la fracción continua infinita
\[
[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots]
\]
después de cada término sucesivo, obtenemos los convergentes
Aunque una fracción continua infinita sea, de momento, únicamente un símbolo
sin valor numérico asignado, todos sus convergentes son números racionales.
Ellos determinan la sucesión infinita de segmentos encajados
Es decir, la distancia entre convergentes consecutivos tiende a cero.
Cada segmento de (18) está contenido en el anterior (véase la Figura 3.6).
Por el axioma de continuidad de Cantor existe un único punto de la recta
perteneciente a todos esos segmentos.
Ese punto será precisamente el valor que asignaremos a la fracción continua
infinita.
De esta definición se deducen inmediatamente dos consecuencias:
El valor de una fracción continua infinita está comprendido entre dos
convergentes consecutivos.
Todos los convergentes de orden par aproximan el valor por defecto, mientras
que los de orden impar lo aproximan por exceso.
Volvamos a observar la Figura 3.7.
Si la fracción continua es infinita, la línea quebrada ya no posee un último
segmento cuyo extremo se encuentre sobre la línea horizontal discontinua.
En cambio, sus vértices se acercan indefinidamente al punto que representa el
valor de la fracción continua.
La línea quebrada posee ahora un número infinito de vértices que caen
alternativamente por encima y por debajo de la línea horizontal discontinua.
El punto
\(\alpha\)
es el valor de la fracción continua infinita.
es monótonamente decreciente y converge hacia
\(\alpha\)
por la derecha.
Observemos de nuevo la sucesión de segmentos (18).
Sus extremos son números racionales.
En nuestra notación el primer extremo aparece unas veces a la izquierda y otras
a la derecha; esta elección carece de importancia.
4.2.2. Representación de números irracionales mediante fracciones continuas infinitas
Ya conocemos el algoritmo que desarrolla un número real en fracción continua.
Supongamos ahora que dicho algoritmo se aplica a un número irracional
\(\alpha\).
Obtendremos una fracción continua infinita
\[
[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots].
\]
Hasta ahora únicamente habíamos afirmado que esta fracción continua
correspondía
al número
\(\alpha\):
\[
\alpha\sim[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots].
\]
Ahora ya podemos determinar el valor de una fracción continua infinita.
Surge entonces una pregunta natural:
¿es realmente ese valor el número
\(\alpha\)
del que partimos?
En otras palabras, ¿es simétrica la correspondencia entre
\(\alpha\)
y
\([a_0;a_1,a_2,\ldots]\)?
La respuesta es afirmativa.
En efecto, los convergentes obtenidos durante el desarrollo de
\(\alpha\)
alternan por encima y por debajo de dicho número.
Consideremos los dos primeros pasos del algoritmo:
\[
\alpha=a_0+\frac1{x_1},
\]
de donde se deduce inmediatamente que
\[
a_0<\alpha.
\]
Además,
\[
x_1=\frac1{\alpha-a_0}
=a_1+\frac1{x_2},
\]
por lo que
\[
\frac1{\alpha-a_0}>a_1,
\]
es decir,
\[
\alpha-a_0<\frac1{a_1},
\]
y, por tanto,
\[
a_0<\alpha
Escribiéndolo mediante convergentes,
\[
\frac{p_0}{q_0}
<
\alpha
<
\frac{p_1}{q_1}.
\]
Este razonamiento puede prolongarse indefinidamente y demuestra que
\(\alpha\)
queda siempre comprendido entre dos convergentes consecutivos.
Si ahora invertimos el argumento y utilizamos la definición del valor de una
fracción continua infinita, recordaremos que dicho valor es el único punto
común a todos los segmentos (18), es decir, a todos los segmentos determinados
por convergentes consecutivos.
Pero ese punto único también es
\(\alpha\).
Por consiguiente, el valor de la fracción continua
\[
[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots]
\]
coincide exactamente con el número
\(\alpha\).
Podemos sustituir el símbolo
\(\sim\)
por el signo de igualdad:
4.2.3. Unicidad de la representación de un número real mediante una fracción continua
Las fracciones continuas proporcionan un método universal para representar los
números reales.
Ya sabemos que todo número real puede desarrollarse como una fracción continua:
los racionales producen desarrollos finitos y los irracionales desarrollos
infinitos.
Queda por estudiar si esa representación es única.
En esta demostración se supone, por simplicidad, que todos los números son
positivos. El caso de números negativos se trata exactamente del mismo modo y
no modifica el resultado.
Esta transformación (descomponer el último término distinto de 1 en una unidad
más el término anterior) puede realizarse en cualquier fracción continua cuyo
último término sea distinto de 1.
Si el último término es precisamente 1, basta incorporarlo al penúltimo
término; es decir, el proceso puede recorrerse en sentido inverso.
Acabamos de demostrar que ésta es la única causa de la falta
de unicidad en la representación mediante fracciones continuas de un número
racional positivo.
Eliminaremos esta ambigüedad adoptando el siguiente convenio:
Convenio.
El último término de una fracción continua finita nunca podrá ser igual a 1.
Cuando existan dos representaciones, se elegirá siempre aquella cuyo último
término sea mayor que 1.
Así, escribiremos
\[
[0;6,4]
\]
y no
\[
[0;6,3,1].
\]
Ya estamos en condiciones de demostrar que dos fracciones continuas
El término
\(a_1\)
(y también
\(b_1\))
es la parte entera de
\[
\frac1{\alpha-a_0},
\]
por lo que queda determinado de manera única.
En consecuencia,
\[
a_1=b_1.
\]
Repitiendo exactamente el mismo razonamiento se obtiene sucesivamente
\[
a_2=b_2,\qquad
a_3=b_3,\qquad\ldots
\]
¿Podrían dos fracciones continuas iguales tener distinto número de términos?
Supongamos que la primera termina tras
\(s\)
términos, mientras que la segunda tiene
\(t>s\)
términos, o incluso es infinita.
Entonces
Concluimos que cada número real posee una única representación mediante
fracción continua.
Durante la demostración hemos utilizado una regla práctica muy útil.
Si conocemos el desarrollo en fracción continua de
\(\alpha\),
el desarrollo correspondiente a
\(\dfrac1\alpha\)
se obtiene así:
Si \(a_0\neq0\), desplazar toda la «cadena» un lugar hacia la derecha y
escribir un 0 delante.
Si \(a_0=0\), desplazar toda la «cadena» un lugar hacia la izquierda.
4.3. Naturaleza de los números representados por fracciones continuas
4.3.1. Clasificación de los números irracionales
Ya conocemos un hecho fundamental:
todo número racional está representado por una fracción continua finita,
mientras que todo número irracional viene representado por una fracción
continua infinita.
No diremos mucho más sobre los números racionales.
Los irracionales, en cambio, pueden pertenecer a clases muy diferentes.
Comencemos recordando su clasificación.
donde
\(a_0\neq0\),
se denomina una
ecuación algebraica de grado \(n\).
En adelante supondremos que todos los coeficientes son enteros.
Si inicialmente fueran racionales, bastaría multiplicar toda la ecuación por el
mínimo común múltiplo de sus denominadores para obtener una ecuación
equivalente con coeficientes enteros.
Llamaremos
número algebraico de grado \(n\)
a todo número real que sea raíz de una ecuación algebraica de grado
\(n\),
pero que no sea raíz de ninguna ecuación algebraica de grado inferior con
coeficientes enteros.
Ejemplo 1.
Todo número racional
\[
\frac pq
\]
es un número algebraico de primer grado, pues es raíz de la ecuación
\[
qx-p=0.
\]
Ejemplo 2.
El número
\[
\sqrt2
\]
es un número algebraico de segundo grado, ya que satisface la ecuación
\[
x^2-2=0.
\]
Sabemos además que
\(\sqrt2\)
no puede ser raíz de ninguna ecuación de primer grado con coeficientes enteros,
puesto que toda ecuación de la forma
\[
a_0x+a_1=0
\]
tiene por solución
\[
x=-\frac{a_1}{a_0},
\]
que siempre es un número racional.
Los números algebraicos de segundo grado reciben el nombre de
irracionalidades cuadráticas.
Se descubrió posteriormente que existen números que no son algebraicos.
Estos reciben el nombre de
números trascendentes.
Su definición es la siguiente:
Un número real es trascendente si no es raíz de ninguna
ecuación algebraica con coeficientes enteros.
Descubrir un número trascendente no es tarea sencilla.
Para demostrar que un número es algebraico basta encontrar una ecuación
algebraica de la que sea raíz.
En cambio, para demostrar que es trascendente hay que probar que
no existe ninguna ecuación de ese tipo, lo cual resulta mucho
más difícil.
Este problema fue resuelto por primera vez por el matemático francés
Joseph Liouville en 1844, cuando demostró la trascendencia de
ciertos números construidos por él.
En 1882 el matemático alemán
Ferdinand Lindemann
demostró que
\(\pi\)
es un número trascendente.
Hoy se conocen numerosos ejemplos de números trascendentes.
Por ejemplo, los logaritmos decimales de todos los números racionales,
excepto de las potencias de diez, son trascendentes.
No debe interpretarse que los números trascendentes sean excepcionales por el
hecho de que resulte difícil demostrar la trascendencia de un número
concreto.
Ocurre justamente lo contrario.
Georg Cantor demostró que, en un sentido preciso, casi todos los números reales
son trascendentes; los números algebraicos constituyen una pequeña excepción.
Sin embargo, los números algebraicos son mucho más fáciles de estudiar y por
ello aparecen con mucha mayor frecuencia en matemáticas elementales.
Los números algebraicos proporcionan numerosos ejemplos de irracionales.
En cambio, para los números trascendentes resulta siempre muy difícil demostrar
su trascendencia en cada caso concreto.
4.3.2. Irracionalidades cuadráticas
Sabemos por la sección anterior que una
irracionalidad cuadrática
es un número irracional que es raíz de una ecuación cuadrática con
coeficientes enteros.
El adjetivo «irracional» sustituye a la expresión utilizada en la definición
general: el número no es raíz de ninguna ecuación de grado inferior con
coeficientes enteros.
En este caso eso significa simplemente que no es raíz de ninguna ecuación de
primer grado con coeficientes enteros; es decir, que no es un número racional.
Consideremos una ecuación cuadrática
\[
a_0x^2+a_1x+a_2=0,
\]
donde
\(a_0\),
\(a_1\)
y
\(a_2\)
son enteros y
\(a_0\neq0\).
Sus raíces vienen dadas por la fórmula
Estas raíces son irracionalidades cuadráticas si, y solo si, se cumplen las dos
condiciones siguientes:
El discriminante
\(
D=a_1^{\,2}-4a_0a_2
\)
es no negativo.
Si
\(D<0\),
las raíces no son reales.
El discriminante
\(D\)
no es un cuadrado perfecto.
Si
\(D=N^2\),
las raíces son racionales.
Estas condiciones permiten formular otra definición equivalente:
Una irracionalidad cuadrática es un número de la forma
\[
p+q\sqrt D,
\]
donde
\(p\)
y
\(q\)
son números racionales y
\(D\)
es un número natural que no es un cuadrado perfecto.
Antes de estudiar algunos ejemplos introduciremos una notación que simplificará
las demostraciones posteriores.
Las letras minúsculas
\(p,q,\ldots\)
designarán siempre números racionales (positivos, negativos o cero).
En ocasiones particulares podrán ser enteros.
Las letras mayúsculas
\(D,M,N,\ldots\)
representarán números naturales que no sean cuadrados perfectos:
\[
2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;8,\;10,\ldots
\]
Aunque existen procedimientos sencillos para construir fracciones continuas que
representan algunos números trascendentes, demostrar que un número obtenido por
otros métodos (por ejemplo,
\(\log2\),
\(\sin1\),
etc.) es trascendente sigue siendo un problema muy difícil.
Dos radicales
\[
\sqrt M
\qquad\text{y}\qquad
\sqrt N
\]
se llaman semejantes si existe un número racional
\(p\)
tal que
\[
\sqrt N=p\sqrt M.
\]
En caso contrario se llaman
no semejantes;
equivalentemente,
\[
\frac{\sqrt N}{\sqrt M}
\]
no es un número racional.
Por ejemplo,
\(\sqrt2\)
y
\(\sqrt8\)
son semejantes, mientras que
\(\sqrt2\)
y
\(\sqrt{10}\)
no lo son.
Si
\(\sqrt M\)
y
\(\sqrt N\)
no son semejantes, entonces también
\(\sqrt{MN}\)
es un radical no semejante a los dos anteriores.
Esto se deduce inmediatamente de las identidades
\[
\sqrt{MN}
=
N\,
\frac{\sqrt M}{\sqrt N},
\]
\[
\frac{\sqrt{MN}}{\sqrt M}
=
\sqrt N,
\qquad
\frac{\sqrt{MN}}{\sqrt N}
=
\sqrt M.
\]
Lema 1
Si
\(\sqrt M\)
y
\(\sqrt N\)
son radicales no semejantes, la igualdad
\[
k+l\sqrt M+m\sqrt N=0
\tag{20}
\]
solo es posible cuando
\[
k=l=m=0.
\]
De forma más compacta,
\[
k+l\sqrt M+m\sqrt N=0
\iff
k=l=m=0.
\]
Demostración.
Hay que distinguir dos casos:
\(l\neq0\) (para cualquier valor de \(k\));
\(l=0\) y \(m\neq0\).
En el primer caso despejamos
\(k\),
elevamos al cuadrado y obtenemos, tras simplificar,
\[
2lm\sqrt{MN}
=
k^2-l^2M-m^2N,
\]
lo que implicaría que
\(\sqrt{MN}\)
fuese racional, contradicción.
En el segundo caso la igualdad obligaría a que
\(\sqrt M\)
o
\(\sqrt N\)
fueran racionales, lo que también contradice las hipótesis.
Por tanto,
\(l=m=0\),
y entonces la igualdad inicial implica inmediatamente que
\(k=0\).
Lema 2
Si
\(\sqrt M\)
y
\(\sqrt N\)
son radicales no semejantes, la igualdad
Demostración.
Supongamos primero que
\(l\neq0\),
\(m\neq0\)
y
\(n\neq0\).
Podemos escribir
\[
l\sqrt M+m\sqrt N
=
-k-n\sqrt{MN}.
\]
Elevando ambos miembros al cuadrado y simplificando se obtiene
\[
2(lm-kn)\sqrt{MN}
=
k^2+n^2MN-l^2M-m^2N,
\]
lo que implicaría que
\(\sqrt{MN}\)
fuese racional, contradicción.
Por tanto, al menos uno de los coeficientes
\(l\),
\(m\)
o
\(n\)
debe ser nulo.
En ese caso la igualdad se reduce al Lema 1, que obliga a anular también
todos los coeficientes restantes.
Desarrollando la igualdad (22), los términos obtenidos son de dos clases:
los que contienen una potencia par de \(q\sqrt M\), que son racionales;
los que contienen una potencia impar, todos ellos múltiplos de
\(\sqrt M\).
Agrupando ambos tipos de términos obtenemos una igualdad de la forma
\[
k+l\sqrt M=0.
\tag{24}
\]
Si en (22) sustituimos
\(q\sqrt M\)
por
\(-q\sqrt M\),
los términos con potencia par permanecen invariables y los de potencia impar
cambian de signo.
Así resulta
\[
k-l\sqrt M=0.
\tag{25}
\]
La igualdad (24) solo puede cumplirse si
\(k=l=0\),
pues en caso contrario
\(\sqrt M\)
sería racional.
Pero entonces (25) también queda satisfecha, con lo que queda demostrado el
resultado.
Lema 4
Si
\[
p+q\sqrt M+r\sqrt N,
\]
donde
\(\sqrt M\)
y
\(\sqrt N\)
son radicales no semejantes, es raíz de una ecuación con coeficientes enteros,
entonces los cuatro números
\[
p\pm q\sqrt M\pm r\sqrt N
\]
(obtenidos con todas las combinaciones posibles de signos)
también son raíces de esa ecuación.
Para simplificar la notación escribiremos
\[
P(x)
=
a_0x^n+a_1x^{\,n-1}+\cdots+a_n.
\]
Hipótesis:
\[
P(p+q\sqrt M+r\sqrt N)=0.
\tag{26}
\]
Debemos demostrar que
\[
P(p\pm q\sqrt M\pm r\sqrt N)=0.
\]
Al desarrollar la expresión (26), todos los términos obtenidos son del tipo
Si sustituimos
\(q\sqrt M\)
por
\(-q\sqrt M\),
los términos de los tipos 1 y 2 permanecen invariables, mientras que los de los
tipos 3 y 4 cambian únicamente de signo. Así,
Las dos primeras son fracciones continuas
puramente periódicas,
mientras que la tercera es
mixta periódica.
En esta clasificación no se tiene en cuenta el término entero
\(a_0\).
Una fracción continua infinita se llama
periódica
si existen números naturales
\(N\)
y
\(k\)
tales que
\[
a_{n+k}=a_n,
\]
para todo
\(n\ge N\).
Teorema (Euler, 1737).
El valor de toda fracción continua periódica es una
irracionalidad cuadrática.
A partir de esta identidad puede obtenerse la ecuación cuadrática satisfecha por
\(\alpha\).
Equivalentemente,
\[
\alpha^2+2\alpha-2=0,
\]
de donde
\[
\alpha=-1+\sqrt3.
\]
Obsérvese que la raíz no puede ser racional, cualquiera que sea el período,
porque la fracción continua inicial es infinita.
¿Y qué sucede si
\(a_0\neq0\)?
En ese caso basta trasladar el término entero al miembro izquierdo y comenzar
de nuevo el proceso de «rebobinado».
Sin embargo, cuando el período es largo este procedimiento resulta bastante
incómodo. Daremos ahora una demostración distinta, menos intuitiva pero mucho
más eficaz.
Sea
\[
\alpha=[0;a_1,a_2,\ldots]
\]
una fracción continua puramente periódica cuyo período tiene longitud
\(k\).
Entonces
\[
\alpha=\alpha_{k+1},
\]
donde
\(\alpha_{k+1}\)
es el \((k+1)\)-ésimo cociente completo:
basta aplicar previamente el proceso de rebobinado hasta llegar al comienzo del
período y repetir el razonamiento anterior.
La irracionalidad del número es esencial, pues la expansión corresponde a una
fracción continua infinita.
En consecuencia, el discriminante de la ecuación (28) no puede ser un cuadrado
perfecto.
En efecto,
\[
D=(p_k-q_{k-1})^2+4p_{k-1}q_k.
\]
Añadiendo y restando
\(4p_kq_{k-1}\)
y utilizando la identidad (13), se obtiene
\[
D=(p_k+q_{k-1})^2+4(-1)^k,
\]
es decir,
\[
D-(p_k+q_{k-1})^2=\pm4.
\]
Como la diferencia entre dos cuadrados perfectos nunca puede ser exactamente
4, el discriminante no puede ser un cuadrado perfecto.
4.3.4. Teorema de Lagrange
En la sección anterior demostramos el teorema de Euler.
Su recíproco es bastante más difícil y fue demostrado por
Joseph-Louis Lagrange en 1770.
Teorema de Lagrange.
Toda irracionalidad cuadrática puede representarse mediante una
fracción continua periódica.
La demostración original de Lagrange era muy complicada.
Muchos matemáticos intentaron simplificarla y, un siglo después, el matemático
francés Charles Hermite propuso un método mucho más elegante.
Seguiremos esencialmente esa idea.
Sea
\(\alpha\)
una irracionalidad cuadrática y desarrollémosla en fracción continua.
A partir del segundo paso obtenemos
Los símbolos
\(\alpha_2,\alpha_3,\ldots\)
representan los cocientes completos.
En la sección 3.1.5 vimos que si alguno de ellos vuelve a repetirse,
es decir,
si
\(\alpha_n=\alpha_{n+k}\),
la fracción continua será necesariamente periódica.
Demostraremos primero que cada cociente completo satisface una ecuación
cuadrática con coeficientes enteros:
\[
A_n\alpha_n^2+B_n\alpha_n+C_n=0.
\tag{29}
\]
Naturalmente, los coeficientes dependen de
\(n\),
por eso llevan subíndice.
Después probaremos que dichos coeficientes permanecen acotados:
Se supone que cada ecuación cuadrática con coeficientes enteros está escrita en
forma irreducible; de lo contrario, la afirmación anterior dejaría de tener
sentido.
Atención. Aquí aparece la idea esencial de Charles Hermite.
Las cotas
\(L\),
\(M\)
y
\(N\)
son independientes de
\(n\);
dependen únicamente del número
\(\alpha\).
Como
\(A_n\),
\(B_n\)
y
\(C_n\)
son enteros, solo pueden tomar un número finito de valores.
Por consiguiente, para cada
\(n\)
la ecuación cuadrática (29) pertenece a un conjunto finito de ecuaciones posibles y, por tanto, el número de raíces posibles también es finito.
Así, la sucesión de cocientes completos
\(\alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_n,\ldots\)
debe acabar repitiéndose, que es precisamente lo que queríamos demostrar.
Llevemos ahora a cabo este plan. Primero demostraremos (29) y después (30).
La irracionalidad cuadrática
\(\alpha\)
satisface una ecuación cuadrática con coeficientes enteros:
Hemos encontrado así una cota para
\(|A_n|\)
independiente de
\(n\).
Un razonamiento análogo permite acotar
\(|C_n|\).
Para
\(B_n\)
resulta más cómodo utilizar el discriminante de la ecuación (29).
Omitimos los cálculos intermedios y obtenemos
Esta identidad expresa un hecho muy natural:
al desarrollar una irracionalidad cuadrática en fracción continua,
todos los cocientes completos son irracionalidades cuadráticas de la misma naturaleza.
Más precisamente, todos son de la forma
\[
\alpha_n=s_n+t_n\sqrt D,
\]
con el mismo valor de
\(D\).
Como
\(A_n\)
y
\(C_n\)
están acotados, la igualdad (34) implica que también lo está
\(B_n\).
Los teoremas de Euler y Lagrange pueden reunirse en un único enunciado:
las irracionalidades cuadráticas, y solamente ellas, son los números representados por fracciones continuas periódicas.
Capítulo 5 — Aproximación de los números reales
5.1. Aproximación mediante convergentes
5.1.1. Aproximaciones de alta calidad
La larga marcha llega por fin a su objetivo.
En este capítulo veremos cuál es la verdadera utilidad de las fracciones continuas.
En la Sección 1.1 interpretamos el problema de la aproximación en un sentido muy
general. Ahora abordaremos un problema mucho más concreto.
Sea
\(R\)
el conjunto de los números reales y consideremos el subconjunto
\(M_q\)
formado por todas las fracciones cuyo denominador no supera
\(q\).
El problema consiste en encontrar, para cada número
\(\alpha\in R\),
la fracción de
\(M_q\)
más próxima a
\(\alpha\).
Supongamos que hemos encontrado esa fracción y la llamamos
\(r\).
Escribiremos
\[
\alpha\approx r.
\]
La utilidad de esta aproximación reside en que
no puede mejorarse sin aumentar el denominador;
en efecto,
\(r\)
es la fracción de
\(M_q\)
más cercana a
\(\alpha\).
Obsérvese que, si en lugar de permitir denominadores menores o iguales que
\(q\)
solo admitiéramos denominadores exactamente iguales a
\(q\),
la aproximación obtenida no tendría, en general, buena calidad.
Por ejemplo, la aproximación de
\(\pi\)
mediante décimos es peor que las aproximaciones
\(\frac19\),
\(\frac18\),
\(\frac17\)
o
\(\frac16\),
aunque estas tengan denominadores menores.
El concepto de «calidad» no posee un significado único y preciso.
Por ello será necesario indicar en cada ocasión qué sentido concreto damos a esa
expresión.
5.1.2. Propiedad fundamental de los convergentes
Definimos la
mejor aproximación racional
de un número
\(\alpha\)
como una fracción
\[
\frac pq
\]
cuyo error absoluto sea menor que el de cualquier otra fracción con denominador
menor o igual que
\(q\).
Con esta definición, los convergentes proporcionan las mejores aproximaciones
posibles a una fracción continua.
Esta propiedad suele considerarse la propiedad fundamental de los convergentes.
Teorema.
Si
\[
\frac{p_n}{q_n}
\qquad(n\ge1)
\]
es un convergente del número
\(\alpha\),
y
\[
\frac pq
\]
es cualquier otra fracción con
\(q≤q_n\),
entonces
representado en la Figura 5.1.
La longitud de dicho intervalo es
\[
|\Delta_n|
=
\frac1{q_nq_{n+1}}.
\]
El punto
\(\alpha\)
puede encontrarse en el interior del intervalo o coincidir con
\(\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\)
(si
\(\alpha\)
es racional y ese es su último convergente).
En cualquier caso,
por una distancia mayor que la longitud del propio intervalo,
\(|\Delta_n|\).
Si prolongamos el intervalo una longitud
\(|\Delta_n|\)
a izquierda y derecha de sus extremos (Fig. 12), obtenemos la zona prohibida
no puede encontrarse (ya que también se excluyen los puntos
\(A\)
y
\(B\)).
Por tanto,
\(\frac pq\)
es una aproximación peor de
\(\alpha\)
que
\(\frac{p_n}{q_n}\).
En efecto,
Consideremos ahora el caso
\(q=q_n\).
¿Puede existir otra fracción con el mismo denominador que proporcione una aproximación mejor o igualmente buena que el convergente?
Es decir, ¿puede ocurrir que
queda a la izquierda de
\(\alpha\)
(Fig. 13); esto equivale a decir que
\(n\)
es par (si
\(n\)
es impar, el razonamiento es completamente análogo).
¿Puede
\(\alpha\)
estar más cerca de
\[
\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}
\]
que de
\[
\frac{p_n}{q_n},
\]
o incluso situarse exactamente en el punto medio?
Es decir, ¿es posible que
Por tanto, la desigualdad (36) solo puede darse cuando
\(q_{n+1}=1\)
o
\(q_{n+1}=2\).
Esto únicamente ocurre para
\(n=0\)
o
\(n=1\).
El siguiente ejemplo muestra que, en esas circunstancias, la desigualdad (36) puede efectivamente cumplirse:
\[
[2;2]
=
2+\frac12.
\]
En este caso
\[
\frac{p_0}{q_0}
=
\frac21.
\]
La fracción
\[
\frac31
\]
aunque no es un convergente, proporciona una aproximación tan buena como él.
No puede darse un ejemplo semejante para
\(n=1\),
porque el último término de una fracción continua no puede ser igual a 1.
Obsérvese que el recíproco del teorema no es cierto: la propiedad demostrada no caracteriza exclusivamente a los convergentes.
Existen fracciones que no son convergentes y, sin embargo, aproximan un número mejor que cualquier otra fracción con denominador menor.
Por ejemplo, en la Subsección 3.1.1 veremos...
En la Subsección 5.1.2 enumeramos los convergentes de
son menores que los de cualquier fracción con un denominador más pequeño, aunque dichas fracciones no sean convergentes. El teorema demostrado no significa, por tanto, que únicamente los convergentes proporcionen las mejores aproximaciones de los números reales.
5.1.3. Los convergentes poseen la máxima calidad
Si la calidad de una aproximación se evalúa en un sentido distinto del descrito en la Subsección 1.1.4, los convergentes ya no tienen competidores.
No sería justo medir la calidad de una aproximación únicamente mediante la cantidad
\[
\left|
\alpha-\frac pq
\right|,
\]
independientemente del tamaño de la unidad fraccionaria. Una mayor precisión puede exigirse utilizando unidades fraccionarias más pequeñas (es decir, con un denominador mayor
\(q\)).
Por ello, es preferible estimar el error absoluto
\[
\left|
\alpha-\frac pq
\right|
\]
en una escala dependiente de
\(q\),
por ejemplo multiplicándolo por
\(q\).
El resultado es el error absoluto normalizado (véase la fórmula (1)):
\[
h=|q\alpha-p|,
\]
o bien el factor de calidad (véase la fórmula (2)):
\[
\lambda=\frac1{2h}
=\frac1{2|q\alpha-p|}.
\]
Según estos criterios, son precisamente los convergentes, y solo ellos, los que poseen la máxima calidad: el error absoluto normalizado de un convergente es menor (y, por tanto, su factor de calidad es mayor) que el de cualquier otra fracción con denominador menor o igual.
Pero esto no es todo. Los convergentes tienen una calidad superior no solo a la de todas las fracciones con denominador menor o igual, sino también a la de aquellas con denominadores mayores. La calidad no mejora aumentando el denominador hasta alcanzar el del siguiente convergente.
Los razonamientos anteriores presentan dos excepciones triviales que aparecerán durante el análisis. Las resumiremos ahora mediante dos teoremas recíprocos.
Teorema 1. Si
\[
\frac{p_n}{q_n}
\]
es un convergente del número
\(\alpha\)
y
\[
\frac pq
\]
es una fracción cualquiera con
\[
q
entonces
\[
|q_n\alpha-p_n|
\le
|q\alpha-p|.
\]
La igualdad solo puede darse en dos casos:
\(\alpha=\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\), es decir, cuando \(\dfrac{p_n}{q_n}\) es el último convergente.
\(n=0\) y \(\alpha=[2;2]\).
Obsérvese que
\[
\frac pq
\]
es una fracción distinta, es decir,
\[
\frac pq\ne\frac{p_n}{q_n}.
\]
Supondremos además que está reducida a términos mínimos.
Analizaremos por separado los dos casos:
\(0
\(q=q_n\).
Representemos
\(p\)
y
\(q\)
como combinaciones lineales de los términos correspondientes de los convergentes
Este sistema determina los coeficientes
\(x\)
e
\(y\).
Su determinante,
\[
p_{n+1}q_n-p_nq_{n+1},
\]
es reconocible mediante la fórmula (12):
\[
D_n
=
p_{n+1}q_n-p_nq_{n+1}
=
(-1)^n.
\]
Por tanto, el sistema (38) determina un único par de números
\(x\)
e
\(y\),
porque
\(D_n\ne0\).
Además,
\(D_n=\pm1\),
de donde se deduce que
\(x\)
e
\(y\)
son necesariamente enteros.
Ambos son distintos de cero. En efecto, si
\(x=0\),
el sistema da
\(y=1\)
(pues ambas fracciones están irreducibles), y por tanto
\(q=q_{n+1}\),
en contradicción con la hipótesis.
Si
\(y=0\),
análogamente se obtiene
\(q=q_n\),
caso que estudiaremos aparte.
Los coeficientes
\(x\)
e
\(y\)
no pueden tener el mismo signo.
Si
\(x>0\)
e
\(y>0\),
la primera ecuación implicaría
\(q>q_{n+1}\).
Si
\(x<0\)
e
\(y<0\),
entonces
\(p\)
y
\(q\)
serían negativos.
Por tanto,
\(x\)
e
\(y\)
tienen signos opuestos.
Para calcular el error absoluto normalizado de la fracción
\[
\frac pq,
\]
comenzamos multiplicando la primera ecuación por
\(\alpha\)
y restando…
Restando la segunda ecuación de la primera multiplicada por
\(\alpha\),
obtenemos:
aproximan a
\(\alpha\)
por lados distintos.
Los números
\(x\)
e
\(y\)
también tienen signos opuestos.
Por tanto, ambos términos del miembro izquierdo son positivos (más exactamente, el primero es estrictamente positivo y el segundo no negativo). En consecuencia,
Analicemos con más detalle el caso (41). Si
\(x=1\),
entonces necesariamente
\(y<0\).
Pero la primera ecuación del sistema (38) daría
\(q<0\),
lo cual es imposible.
Por tanto,
\(x=-1\).
Esto obliga a
\(y=1\).
En efecto, si
\(y>1\),
la primera ecuación de (38) puede escribirse como
Multiplicando ambos miembros por
\(q_n\),
obtenemos
\[
|q_n\alpha-p_n|
<
|q\alpha-p|,
\]
lo que completa la demostración (incluyendo el caso excepcional, posible únicamente cuando
\(n=0\),
que también queda contemplado).
Así queda demostrado el Teorema 1.
Teorema 2 (recíproco).
Si el error absoluto normalizado correspondiente a un número
\(\alpha\)
y a una fracción
\[
\frac pq
\]
es menor que el de cualquier otra fracción
\[
\frac{p'}{q'},
\qquad q'\le q,
\]
entonces
\[
\frac pq
\]
es un convergente de
\(\alpha\).
Supondremos, como siempre, que la fracción
\[
\frac pq
\]
está reducida a términos mínimos.
Además, si
\(\alpha\)
es racional,
\[
\alpha=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}},
\]
entonces
\(q\)
no puede ser mayor que
\(q_{n+1}\),
ya que el error absoluto normalizado de
\[
\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}
\]
es nulo, mientras que, por hipótesis,
\[
|q\alpha-p|
>0.
\]
Supongamos que
\[
\frac pq
\]
no es un convergente.
Entonces su denominador queda situado entre los de dos convergentes consecutivos:
\[
q_n<q<q_{n+1}.
\]
El Teorema 1 afirma entonces que
\[
|q_n\alpha-p_n|
<
|q\alpha-p|.
\]
Esto contradice la hipótesis del teorema, ya que
\(q_n<q\),
y por tanto
\[
\frac{p_n}{q_n}
\]
tiene un error absoluto normalizado menor que
\[
\frac pq.
\]
La suposición de que
\[
\frac pq
\]
no era un convergente resulta, pues, falsa.
Nota 1. Hemos demostrado que los convergentes, y solo los convergentes, proporcionan un error absoluto normalizado menor y, por tanto, un factor de calidad mayor que cualquier otra fracción con denominador menor.
¿Por qué únicamente con denominadores menores?
¿Podría ocurrir lo mismo para fracciones con denominadores ligeramente mayores?
No.
El teorema directo solo es válido para denominadores comprendidos en el intervalo
\[
q_n<q<q_{n+1},
\]
y no puede extenderse más allá.
Nota 2. Consideremos con mayor detalle el caso excepcional (41):
mediante fracciones con denominadores
\(1,2,3,4\)
(Tabla 2).
\(q\)
Aproximación
Error absoluto normalizado \(h\)
Factor de calidad \(\lambda\)
1
\(\frac21\)
\(\frac7{27}\)
\(\frac{27}{14}=1\frac{13}{14}\)
2
\(\frac52\)
\(\frac{13}{27}\)
\(\frac{27}{26}=1\frac1{26}\)
3
\(\frac73\)
\(\frac29\)
\(\frac94=2\frac14\)
4
\(\frac94\)
\(\frac1{27}\)
\(\frac{27}{2}=13\frac12\)
Observando esta tabla podemos determinar, sin desarrollar el número
\[
\frac{61}{27}
\]
en fracción continua, que
\[
\frac94
\]
es un convergente: su factor de calidad es mayor que todos los anteriores.
Lo mismo ocurre con
\[
\frac73.
\]
Sin embargo,
\[
\frac52
\]
no es un convergente, porque su factor de calidad es menor que el de
\[
\frac21.
\]
Capítulo 6 — Soluciones
6.1. El misterio del número de Arquímedes
6.1.1. La clave de todos los enigmas
Los lectores que hayan trabajado cuidadosamente los Capítulos 1, 2, 3, 4 y 5 verán ahora recompensado su esfuerzo.
Ya estamos preparados para explicar los enigmas planteados en el Capítulo 1.
En realidad, todo este libro ha sido escrito para llegar a una conclusión muy sencilla:
Si se desea aproximar un número real con gran precisión mediante una fracción de denominador suficientemente pequeño, basta con sustituirla por un convergente.
Con ello quedan resueltos tanto el problema de Arquímedes como el problema del calendario.
Conviene recordar que Christian Huygens llegó a las fracciones continuas mientras intentaba aproximar números reales mediante fracciones sencillas.
Necesitaba construir un modelo del Sistema Solar basado en ruedas dentadas.
Para reproducir los periodos de revolución con suficiente exactitud, dichas ruedas debían poseer un número muy elevado de dientes.
Huygens buscó, y encontró, un método general para resolver este tipo de problemas: sustituir números muy grandes por otros mucho más pequeños, reproduciendo sus razones con la mayor fidelidad posible.
Así inventó las fracciones continuas como herramienta auxiliar y descubrió muchas de sus propiedades, aunque Rafael Bombelli, en Italia, ya había trabajado con ellas de forma más superficial aproximadamente un siglo antes.
N. N. Luzin solía decir que, en estos casos, «hasta las virutas y limaduras son valiosas en el laboratorio de un gran científico».
6.1.2. El secreto del número de Arquímedes
Para hallar aproximaciones del número
\(\pi\)
lo desarrollamos en fracción continua.
Podemos partir de una aproximación decimal muy precisa, por ejemplo
\[
3.14159265
=
\frac{314159265}{100000000},
\]
y aplicar el algoritmo de Euclides. El resultado comienza así:
\[
\pi=[3;\,7,\,15,\,1,\,288,\,1,\ldots].
\]
6.1.2. El secreto del número de Arquímedes
Para hallar una buena aproximación del número
\(\pi\),
lo expandimos en una fracción continua. Tomando una aproximación decimal de gran precisión, por ejemplo,
\[
\pi=3.14159265=\frac{314159265}{100000000},
\]
y aplicando el algoritmo de Euclides, obtenemos
\[
\pi=[3;\,7,\,15,\,1,\,288,\ldots].
\]
Calculamos ahora los convergentes mediante el procedimiento descrito en la Subsección 3.1.4.
Y eso es todo; así de sencillo.
Esta tabla revela el secreto de Arquímedes, así como el de Metio.
Demuestra lo siguiente:
¿Puede afirmarse entonces que, por fin, han quedado al descubierto los métodos de Arquímedes y de Metio?
¿Que Arquímedes utilizó el convergente
\[
\frac{p_1}{q_1},
\]
y Metio el convergente
\[
\frac{p_3}{q_3}\,?
\]
No, al menos no en el caso de Arquímedes.
Debe quedar claro para el lector que el problema que hemos resuelto es un problema matemático, no histórico.
Hemos demostrado cómo podía llegarse a la aproximación de
\(\pi\)
mediante la fracción
\[
\frac{22}{7},
\]
pero ello no significa que Arquímedes siguiera necesariamente este procedimiento.
De hecho, no puede descartarse que conociera el algoritmo de las fracciones continuas.
Esta conjetura se apoya en dos argumentos:
es el método más natural cuando todavía no se han inventado las fracciones decimales;
en el antiguo Egipto y en Babilonia se preferían las fracciones cuyo numerador era la unidad.
Solo tales fracciones estaban en uso, y las demás fueron aceptadas muy lentamente.
Sin embargo, estos argumentos son meramente especulativos y carecerían de valor como prueba.
No existe ninguna evidencia directa.
Para evaluar
\(\pi\),
Arquímedes calculó los perímetros de polígonos regulares inscritos y circunscritos mediante la llamada «fórmula de duplicación».
No sabemos cómo extraía las raíces cuadradas; únicamente nos dio el resultado final.
Los historiadores aún no han llegado a una conclusión universalmente aceptada sobre esta cuestión.
Las ventajas de utilizar fracciones con denominador
7
pueden comprobarse experimentalmente comparándolas con fracciones de otros denominadores.
Metio (o, más exactamente, Antoniszoon) no pudo proceder así.
Habría sido prácticamente imposible descubrir la complicada fracción
\[
\frac{355}{113}
\]
sin una teoría.
No hay prácticamente ninguna duda de que Antoniszoon recurrió a las fracciones continuas.
Resulta completamente claro por qué se detuvo en el convergente
\[
\frac{355}{113}.
\]
En efecto, la siguiente aproximación,
\[
\frac{102595}{32657},
\]
es ya tan complicada que carece de interés práctico.
6.2. La solución del problema del calendario
6.2.1. El uso de las fracciones continuas
Pensemos ahora cómo resolveríamos el problema de alternar años ordinarios y bisiestos.
Representaremos la duración del año mediante una fracción continua:
Nota 1.
El número
\(\pi\)
es irracional y se representa mediante una fracción continua no terminante.
La duración del año es una magnitud empírica.
Todas las magnitudes empíricas se miden con errores, por lo que carece de sentido clasificarlas como racionales o irracionales.
La duración del año indicada arriba es el valor adoptado y debemos tratarla como exacta.
Está representada mediante una fracción continua terminante.
Nota 2. No necesitamos expresar la duración del año mediante una fracción decimal de un día (como hicimos con \(\pi\)) si queremos representarla mediante una fracción continua. Los cálculos son los siguientes (hemos omitido la parte entera):
Calculemos ahora varios convergentes de la fracción continua que representa la duración del año.
Se omite la parte entera porque debemos recordar que cada año contiene siempre 365 días completos:
Cada columna proporciona una solución al problema del calendario.
Por ejemplo, la primera columna da una duración aproximada del año de
\[
365\frac14
\]
días.
Esta duración se obtiene haciendo bisiesto un año de cada cuatro.
En general, la tercera fila indica la longitud del ciclo (o período), y la segunda fila el número de años bisiestos dentro de ese ciclo.
Así, la segunda columna prescribe la siguiente solución: siete años bisiestos en un ciclo de 29 años.
Esto corresponde a una duración media del año de
\[
365\frac{7}{29}
\]
días.
Este patrón es más preciso que
\[
365\frac14,
\]
aunque también más complicado.
6.2.2. Cómo elegir un calendario
Ahora queda claro que solo se nos ofrecen cuatro opciones.
Para evitar malentendidos, debemos señalar que existen muchísimos calendarios diferentes en el mundo.
Existen calendarios solares y lunares.
Distintos pueblos utilizan distintos puntos de partida para contar los años, diferentes números de meses por año (12 o 13), diferentes (y extraordinariamente diversos) comienzos del año y distintas festividades.
En este libro no pretendemos abarcar toda esa variedad de características.
Nos centramos únicamente en un aspecto: la duración media del año.
Solo existen cuatro opciones que sean a la vez suficientemente sencillas y suficientemente exactas.
Estas aparecen en las cuatro primeras columnas de la tabla siguiente.
Las combinaciones que empiezan a partir de la quinta columna son demasiado complicadas.
Las opciones posibles —y aceptables— son, por tanto, las que aparecen en la Tabla 3.
Tabla 3.
El signo negativo de la columna «Error» indica que la duración media del año es mayor que el valor verdadero.
La primera opción es el calendario juliano.
La segunda opción no resulta práctica.
Es tan complicada como la tercera, pero bastante menos precisa.
La tercera opción (8 años bisiestos en un ciclo de 33 años) fue propuesta por el gran erudito, poeta y astrónomo persa y tayiko Omar Jayyam en 1079.
La cuarta opción es extraordinariamente precisa.
El error de un segundo carece de importancia práctica.
Por ello este calendario ha sido propuesto en varias ocasiones; por ejemplo, el astrónomo ruso Medler sugirió en 1864 introducirlo en Rusia a comienzos del siglo XX.
Lo llamó la única corrección del calendario gregoriano: suprimir un año bisiesto cada 128 años (es decir, considerar como ordinario un año que debería ser bisiesto).
En efecto, el calendario juliano contiene 32 años bisiestos en cada ciclo de 128 años.
Sin embargo, este calendario nunca ha sido adoptado ni en Rusia ni en ningún otro lugar.
Las razones más probables son que un ciclo de 128 años no parece «bien redondeado» y que la gente está demasiado acostumbrada al calendario vigente.
6.2.3. El secreto del papa Gregorio XIII
La subsección anterior no resolvía el misterio del papa Gregorio XIII, ya que el calendario gregoriano no aparece entre las cuatro opciones de la tabla.
Por ello, una vez resuelto el problema matemático, dedicaremos ahora algún tiempo al problema histórico.
¿Cuáles fueron los argumentos que condujeron a la decisión del papa Gregorio XIII (o, más exactamente, de la comisión que nombró)?
Consideremos una hipótesis muy atractiva.
Supongamos que Gregorio XIII conocía la razón
\[
\frac{31}{128}
\]
y quiso sustituir el período de 128 años por otro más manejable, eligiendo 400 años.
Si en 128 años hay 31 años bisiestos, ¿cuántos habrá en 400 años?
La proporción
\[
\frac{31}{128}=\frac{x}{400}
\]
da como resultado
\[
x=96.875\approx97.
\]
Este es precisamente el calendario gregoriano: 97 años bisiestos cada 400 años.
¡Qué conclusión tan convincente! Desgraciadamente, es falsa.
Cuando tratamos de explicar un hecho histórico, debemos evitar atribuir a los estudiosos de otras épocas nuestra forma moderna de razonar.
Al contrario, debemos intentar penetrar en su mundo de ideas y conocimientos.
Por ello, los razonamientos especulativos del tipo «seguramente ocurrió así» tienen poco valor para un historiador.
Es necesario acudir a los documentos y comprobar qué fue realmente lo que sucedió.
Se conoce bastante bien la historia de la reforma gregoriana del calendario, así como quiénes formaban parte de la comisión encargada de prepararla.
El error de nuestro razonamiento especulativo es el siguiente: en tiempos de Gregorio XIII la duración del año no se conocía con la precisión actual.
La comisión utilizó las tablas astronómicas elaboradas por la Academia de Toledo por encargo del rey Alfonso X el Sabio de Castilla (1221–1284).
En dichas tablas la duración del año era
Por tanto, la comisión del papa Gregorio XIII no podía conocer la fracción
\[
\frac{31}{128},
\]
cualquiera que hubiera sido el método utilizado.
Ya hemos mencionado que la duración media del año en el calendario gregoriano es de
365 días, 5 horas, 49 minutos y 12 segundos, es decir, 27 segundos más larga que la duración verdadera.
Sin embargo, esa es nuestra valoración actual, mientras que la comisión de Gregorio XIII consideraba que su año era 4 segundos más corto que el año verdadero.
Vemos así que la comisión podía sentirse plenamente satisfecha con la precisión alcanzada.
Hay que añadir que nada apunta a que la comisión utilizara fracciones continuas; en aquella época seguían siendo desconocidas en Europa.
En realidad, la decisión pudo obtenerse fácilmente mediante un método de prueba y error.
Veamos cómo.
Según las Tablas de Alfonso X, el año juliano excedía al año verdadero en
\[
10\ \text{min}\ 44\ \text{s}.
\]
¿Cuántos años serían necesarios para acumular un error de un día completo?
Basta dividir 24 horas entre
10 minutos y 44 segundos:
Por tanto, sería necesario suprimir un año bisiesto cada 134 años.
Sin embargo, esta solución no es adecuada porque el año 134 no sería bisiesto, mientras que el año 134 es divisible por 2 pero no por 4.
Así pues, se decidió suprimir tres años bisiestos cada 400 años.
De este modo se obtuvo el calendario gregoriano.
Bibliografía
Ya hemos indicado en el Prólogo que este pequeño libro está dirigido a lectores no especializados y presenta lo que puede considerarse la información mínima sobre fracciones continuas.
Quienes deseen adquirir un conocimiento más amplio del tema pueden consultar las siguientes obras:
Moore, C. G.,
An Introduction to Continued Fractions,
National Council of Teachers of Mathematics,
Washington D. C., 1964.
Véase la bibliografía de esa obra para ampliar las referencias.
El presente libro contiene información sobre los matemáticos mencionados en el texto.
Struik, D. J.,
A Concise History of Mathematics,
3.ª edición,
Dover,
Nueva York,
1967.
\[
\frac{p_1}{q_1},
\]
\[
\frac{p_3}{q_3}\,?
\]
\[
\frac{22}{7},
\]
\[
365\frac14
\]
\[
365\frac{7}{29}
\]
\[
365\frac14,
\]
