Mano perfecta de bridge

A menudo leemos sobre alguien a quien se le han repartido 13 espadas en el bridge. Con un mazo de cartas bien mezclado, ¿cuál es la probabilidad de que te repartan una mano perfecta (13 de un palo)? (El bridge se juega con un mazo ordinario de 52 cartas, 13 de cada uno de los 4 palos, y a cada uno de los 4 jugadores se le reparten 13)

Solución

Las posibilidades son muy escasas. Dado que las cartas están bien mezcladas, podríamos repartir tus 13 cartas de la parte superior. Para obtener 13 de un palo, puedes empezar con cualquier carta y luego estás restringido al mismo palo.

Entonces, el número deformas de repartir 13 de un palo es

52 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

 = 52×12 !.

El número total de formas de obtener una mano de bridge es

52 × 51 X 50 X 49 X 48 X 47 × 46 × 45 X 44 × 43 × 42 × 41 × 40

= 52 ! / 39 !.

La probabilidad deseada es

52 × 12 ! / ( 52 ! / 39 ! )

= 12 ! 39 ! / 51 !.

De las tablas de logaritmos de factoriales  ( PWSA , p . 431 ) tenemos

log 12 !  = 8.68034

log 39 ! = 46.30959

log ( 12 ! 39 ! ) = 54.98993

log 51 ! = 66.19065

log(p) = -11.20072

p = 1/ 1.588·10¹¹

En cálculos de este tipo, a veces las personas se pierden en el laberinto de cifras exactas. Lo que importa aquí es que hay aproximadamente una posibilidad entre 160 mil millones de que a una persona en particular se le reparta una mano perfecta en una sola partida.

¿Con qué frecuencia deberíamos escuchar de eso? Seamos generosos y digamos que 10 millones de personas juegan bridge en los Estados Unidos de América y que cada una juega 10 manos al día todos los días del año (equivalente a aproximadamente dos sesiones largas cada semana). Eso daría 36 mil millones de manos al año, por lo que esperamos aproximadamente una mano perfecta cada 4 años, algunas de las cuales no se informarían públicamente. . Incluso el doble de personas jugando el doble de tiempo solo daría una mano así al año

¿Cómo se explica la frecuencia mucho mayor con la que se informan las manos perfectas?

Varias cosas contribuyen. Las nuevas barajas tienen las cartas agrupadas por palos, y una mezcla insuficiente podría explicar algunas manos perfectas. ( Una mano ampliamente informada en la que los cuatro jugadores recibieron manos perfectas fue la primera mano repartida de una nueva baraja.)

Cuando hablamos de eventos muy raros, tenemos que preocuparnos por su cesos escandalosos. Sin duda, muchos informes se deben a bromas. ¿No se sorprendería la abuela si tuviera 13 corazones para el Día de San Valentín? Vamos a organizarlo, pero luego le diremos que todo fue una broma. La abuela se toma su juego de bridge en serio. Cuando resulta que la abuela está abrumada, ha llamado a sus familiares, amigos del bridge y a los reporteros, la noticia de una broma sería muy indeseable, y la opción fácil para el bromista es el silencio.

Quizás algunos informes se inventan de la nada. Parece poco probable que este tipo de mano surja de un engaño consumado porque llama demasiado la atención sobre el receptor y su pareja. N. T. Gridgeman discute informes de tratos perfectos donde los cuatro jugadores reciben 13 cartas de un palo en "El misterio del trato perdido", Estadístico Americano, Vol. 18, No. 1, Feb. 1964, pp. 15-16, y hay correspondencia adicional en "Cartas al Editor", pp. 30-31, en el número de abril de 1964 de esa revista.

Una forma ligeramente diferente de calcular esta probabilidad es usar coeficientes binomiales.

Se cuentan la cantidad de formas diferentes de organizar a elementos de un tipo y b elementos de otro en una fila. Por ejemplo, 3 a's y 2 b's se pueden organizar de 10 formas, como el lector puede verificar con sus dedos comenzando con aaabb y terminando con bbaaa.

En nuestro problema, el número de formas de elegir 13 cartas de 52

52 ! /(13 ! 39 ! )

" El número de formas de obtener 13 espadas es

13 ! /(13 ! 0 ! )= 1 .

Multiplicamos por 4 debido a las 4 palos, y la probabilidad final es 4 × 13 ! 39 ! / 52 !, como ya encontramos antes .

Otra manera de ver esta probabilidad es la siguiente, en un mazo miramos la carta de arriba, la probabilidad de que las  doce siguientes sean del mismo palo que la primera es

un caso favorable de 51 sobre 12 posibles.