Chuck - a - Luck

Chuck - a - Luck es un juego de azar que se juega a menudo en ferias y casas de apuestas. Un jugador puede apostar a cualquiera de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Se lanzan tres dados. Si el número del jugador aparece en uno, dos o tres de los dados, recibe respectivamente una, dos o tres veces su apuesta original más su propio dinero; de lo contrario, pierde su apuesta. ¿Cuál es la pérdida esperada del jugador por unidad de apuesta?

Solución

Calculemos las pérdidas incurridas

( a ) cuando los números en los tres dados son diferentes,

( b ) cuando exactamente dos son iguales,

y ( c ) cuando los tres son iguales.

Un ataque fácil es suponer que colocas una apuesta unitaria en cada uno de los seis números, apostando así seis unidades en total.

Supongamos que el lanzamiento produce tres números diferentes, digamos 1, 2, 3.

Entonces la casa se queda con las apuestas de tres unidades en los números perdedores 4, 5, 6

y paga las apuestas de las tres unidades ganadoras 1, 2, 3.

La casa no ganó nada y tú no ganaste nada.

Ese resultado sería el mismo para cualquier lanzamiento de tres números diferentes.

A continuación, supongamos que el lanzamiento de los dados resulta en dos números iguales y otro diferente, digamos 1, 1, 2.

Entonces la casa puede usar las apuestas en los números 3 y 4 para pagar la apuesta en el número 1, y la apuesta en el número 5 para pagar la del número 2. Esto deja la apuesta en el número 6 para la casa. La casa ganó una unidad , tú perdiste una unidad, o por cada apuesta unitaria perdiste .

Supongamos que los tres dados muestran el mismo número, por ejemplo, 1, 1, 1.

Entonces, la casa puede pagar las probabilidades triples de las apuestas realizadas en 2, 3, 4, dejando las apuestas en 5 y 6 como ganancias de la casa. La pérdida por unidad de apuesta es entonces de 2.

Nota que cuando una tirada produce un pago múltiple, los jugadores están perdiendo en promedio.

Para encontrar la pérdida esperada por unidad de apuesta en todo el juego, necesitamos ponderar los tres tipos de resultados por sus probabilidades.

Si consideramos los  tres dados como distinguibles, digamos rojo, verde y azul, hay

 6 × 6 × 6 = 216  formas en las que pueden caer.

 ¿De cuántas formas obtenemos tres números diferentes?

Si los tomamos en orden, hay 6 posibilidades para el rojo, luego para cada uno de estos, 5 para el verde ya que no debe coincidir con el rojo, y para cada par rojo-verde, 4 formas para el azul ya que no debe coincidir con ninguno de los otros, obtenemos

6 × 5 × 4 = 120 formas.

Por un momento, saltemos el caso en el que exactamente dos dados son iguales y pasemos a tres iguales.

Hay solo 6 formas

porque hay 6 formas para que el rojo caiga y solo 1 forma para cada uno de los demás, ya que deben coincidir con el rojo.

Esto significa que hay 90 formas para que caigan dos iguales y uno diferente. Pues de 216 quedan 216-120-6=90.

Verifiquemos eso directamente.

Hay tres patrones principales que dan dos iguales: rojo-verde iguales, rojo-azul iguales o verde-azul iguales. Contemos el número de formas para uno de estos, digamos rojo-verde iguales, y luego multipliquemos por tres. El rojo puede ser lanzado de 6 formas, luego el verde de 1 forma para que coincida, y el azul de 5 formas para que no coincida, o 30 formas.

En total, entonces tenemos 3 × 30 = 90 formas, verificando el resultado que obtuvimos por resta.

Obtenemos la pérdida esperada ponderando cada pérdida por su probabilidad y sumando de la siguiente manera:

 Así que pierdes alrededor del 8 % por jugada .

Considerando que una jugada puede tomar medio minuto y que los bonos del gobierno te pagan menos del 4 % de interés al año , la ganancia del estado es considerable, una manera de hacer que los jugadores tributen, no por ganancias, sino por jugar.

Este cálculo es para dados regulares . A veces se utiliza una rueda giratoria con una aguja con conjuntos de tres números pintados en segmentos alrededor del borde de la rueda . Los conjuntos no corresponden perfectamente a las frecuencias En tales ruedas he observado que los pagos múltiples son más frecuentes que en los dados, y por lo tanto la pérdida esperada para el jugador es mayor .