45. Número Promedio de Coincidencias

Las siguientes son dos versiones del problema de coincidencias:

1. De un mazo de cartas barajado, las cartas se colocan en una mesa una a la vez, boca arriba de izquierda a derecha, y luego se coloca otro mazo de modo que cada una de sus cartas esté debajo de una carta del primer mazo. ¿Cuál es el número promedio de coincidencias de la carta de arriba y la carta de abajo en repeticiones de este experimento?

2. Un mecanógrafo escribe letras y sobres a n personas diferentes. Las letras se colocan aleatoriamente en los sobres. En promedio, ¿cuántas letras se ponen en sus propios sobres?

Solución para el Número Promedio de Coincidencias

Discutamos este problema para un mazo de cartas. Dado un mazo de 52 cartas, cada carta tiene 1 oportunidad en 52 de coincidir con su carta emparejada. Con 52 oportunidades de coincidencia, el número esperado de coincidencias es \(52 \left(\frac{1}{52}\right) = 1\); por lo tanto, en promedio obtienes 1 coincidencia. Si el mazo hubiera consistido en \(n\) cartas distintas, el número esperado de coincidencias seguiría siendo 1 porque \(n \left(\frac{1}{n}\right) = 1\). El resultado se basa en el teorema de que la media de una suma es la suma de las medias.

Más formalmente, cada par de cartas puede considerarse como asociado a una variable aleatoria \(X_i\) que toma el valor 1 cuando hay una coincidencia y el valor 0 cuando no la hay. Entonces

\(E(X_i) = 1 \left( \frac{1}{n} \right) + 0 \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n}\)

Finalmente, el número total de coincidencias es \(\sum X_i\), y el valor esperado de una suma es la suma de los valores esperados, por lo que

\(E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{n} \right) = \frac{n}{n} = 1\),

como antes.

Créditos
Traducción del problema 45 del libro Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions,  F.  Mosteller,  Dover, New York, 1965 , MOSTELLER

Vídeo introducción con http://www.lumen5.com