Moneda en un Cuadrado

 En un juego común de carnaval, un jugador lanza una moneda desde una distancia de aproximadamente 5 pies sobre la superficie de una mesa dividida en cuadrados de 1 pulgada. Si la moneda (de una pulgada de diámetro) cae completamente dentro de un cuadrado, el jugador recibe 5 centavos pero no recupera su moneda; de lo contrario, pierde su moneda.

Si la moneda cae sobre la mesa, ¿cuál es su probabilidad de ganar?

Solución

Cuando lanzamos la moneda sobre la tabla, algunas posiciones para el centro de la moneda son más probables que otras, pero sobre un cuadrado muy pequeño podemos considerar la distribución de probabilidad como uniforme. Esto significa que la probabilidad de que el centro caiga en cualquier región de un cuadrado es proporcional al área de la región , de hecho, es el área de la región dividido por el área del cuadrado.

El área sombreada muestra donde debe caer elcentro de la moneda para que el jugador gane.

Dado que la moneda tiene un radio de 3/8 pulgadas, su centro no debe caer dentro de 3/8 pulgadas de cualquier borde si el jugador quiere ganar. Esta restricción genera un cuadrado de lado 1/4 pulgadas dentro del cual el centro de la moneda debe estar para que la moneda esté en el cuadrado.

Como las probabilidades son proporcionales a las áreas,

la probabilidad de ganar es (1/4) ² = 1/16.

Por supuesto, ya que existe la posibilidad de que la moneda se caiga de la mesa por completo, la probabilidad total de ganar es aún menor. También los cuadrados pueden hacerse más pequeños simplemente espesando las líneas.  Si las líneas tienen 1/16 pulgadas de ancho, el área central ganadora reduce la probabilidad a (3/16) ² = 9/256 o menos de 1/28.

Créditos
Traducción del problema 5 del libro Fifty challenging problems in probability , MOSTELLER