Las cónicas como ceros de polinomios de segundo grado
Un camino algebraico: empezar por una variable, completar cuadrados y trasladar la misma idea a dos variables. La clasificación aparecerá al estudiar los signos.
1. Empezamos con una variable
Tomemos un polinomio de segundo grado:
Completando el cuadrado, siempre podemos escribir la misma ecuación en la forma
No necesitamos calcular las raíces. Basta mirar los signos de a y C:
| Signos | ¿Puede valer cero la suma? | Soluciones |
|---|---|---|
| a y C de signos contrarios | Sí: los dos términos se compensan. | Dos raíces reales distintas. |
| a y C del mismo signo | No: ambos términos tienen el mismo signo. | Ninguna raíz real. |
| C = 0 | El cuadrado tiene que ser cero. | Una raíz doble. |
¿De dónde salen las letras B y C?
Al desarrollar el cuadrado y comparar con el polinomio inicial, obtenemos las expresiones exactas:
Por tanto, en la escritura abreviada \(a(x+B)^2+C=0\), los dos números son
Aquí usamos B y C solo como abreviaturas para el caso de una variable. Más adelante, en la ecuación general de dos variables, las letras mayúsculas tendrán el papel de coeficientes de esa ecuación.
2. La misma idea con dos variables
Queremos estudiar los ceros de un polinomio de segundo grado en dos variables. Si podemos completar el cuadrado en la dirección de \(x\), la ecuación se puede escribir en la forma
Es el mismo principio que en una variable: un cuadrado, más lo que queda. La diferencia es que lo que queda puede ser ahora un polinomio de segundo grado en \(y\).
Clasificación con las menos cuentas posibles
Si \(c_2\ne0\), completamos también el cuadrado en \(y\). No hace falta desarrollar toda la cuenta: basta saber que la ecuación queda, mediante un cambio de coordenadas, en la forma
Los cambios de coordenadas solo trasladan, giran o inclinan la figura. Por eso, en esta forma diagonal, su tipo depende de los signos de \(a\), \(c_2\) y \(\gamma\), no simplemente del signo de \(c_0\).
Si hace falta, multiplicamos toda la ecuación por \(-1\) para suponer \(a>0\) y \(c_2>0\).
| \(\gamma<0\) | Elipse real: la constante tiene signo contrario y puede compensarse con los cuadrados. |
| \(\gamma=0\) | Un punto: los dos cuadrados deben ser cero. |
| \(\gamma>0\) | Ningún punto real: todos los términos tienen el mismo signo. |
Un cuadrado puede compensar al otro.
| \(\gamma\ne0\) | Hipérbola: los dos cuadrados pueden compensarse con la constante. |
| \(\gamma=0\) | Dos rectas secantes: la diferencia de cuadrados se factoriza en dos rectas. |
¿Y si \(c_2=0\)?
Entonces ya no hay término cuadrático en lo que queda:
- Si \(c_1\ne0\), un cuadrado queda igualado a una expresión lineal: obtenemos una parábola.
- Si \(c_1=0\), volvemos a un cuadrado más una constante: aparecen dos rectas paralelas, una recta doble o ningún punto real, según los signos.
Así, para clasificar basta distinguir si \(c_2\) se anula. Si no se anula, miramos los signos de \(a,c_2,\gamma\); si se anula, miramos si queda o no el término lineal \(2c_1y\).
Cuadro de clasificación antes de introducir la matriz
Reunimos aquí los casos de la forma
Cuando \(c_2\ne0\), el término lineal \(2c_1y\) se incorpora al completar el cuadrado. Por eso definimos, solo para clasificar,
| Condición | Qué ocurre | Conjunto de ceros reales |
|---|---|---|
| \(c_2\ne0\), \(a,c_2\) del mismo signo y \(\gamma\) de signo contrario | Los cuadrados pueden compensar la constante. | Elipse real. |
| \(c_2\ne0\), \(a,c_2\) del mismo signo y \(\gamma=0\) | Los dos cuadrados deben anularse. | Un punto. |
| \(c_2\ne0\), \(a,c_2\) del mismo signo y \(\gamma\) del mismo signo | Todos los términos tienen el mismo signo. | Ningún punto real. |
| \(c_2\ne0\), \(a,c_2\) de signos contrarios y \(\gamma\ne0\) | Los dos cuadrados se compensan entre sí. | Hipérbola. |
| \(c_2\ne0\), \(a,c_2\) de signos contrarios y \(\gamma=0\) | La diferencia de cuadrados se factoriza. | Dos rectas secantes reales. |
| \(c_2=0,\ c_1\ne0\) | Un cuadrado queda igualado a una expresión lineal. | Parábola. |
| \(c_2=0,\ c_1=0,\ c_0\) de signo contrario a \(a\) | El cuadrado toma un valor positivo. | Dos rectas paralelas. |
| \(c_2=0,\ c_1=0,\ c_0=0\) | El cuadrado debe ser cero. | Una recta doble. |
| \(c_2=0,\ c_1=0,\ c_0\) del mismo signo que \(a\) | La suma no puede ser cero. | Ningún punto real. |
Cuadro de clasificación suponiendo \(a=1\)
Como podemos dividir por un coeficiente positivo, tomamos \(a=1\). Cuando \(c_2\ne0\), completamos el cuadrado en \(y\) y usamos
El término \(b_1y+b_0\) solo inclina y desplaza la cónica; no cambia su tipo.
| Condición | Clasificación |
|---|---|
| \(c_2>0,\ \gamma<0\) | Elipse real. |
| \(c_2>0,\ \gamma=0\) | Un punto. |
| \(c_2>0,\ \gamma>0\) | Ningún punto real. |
| \(c_2<0,\ \gamma\ne0\) | Hipérbola. |
| \(c_2<0,\ \gamma=0\) | Dos rectas secantes reales. |
| \(c_2=0,\ c_1\ne0\) | Parábola. |
| \(c_2=0,\ c_1=0,\ c_0<0\) | Dos rectas paralelas. |
| \(c_2=0,\ c_1=0,\ c_0=0\) | Una recta doble. |
| \(c_2=0,\ c_1=0,\ c_0>0\) | Ningún punto real. |
Exploración interactiva de las cónicas
Cambia los coeficientes y observa la curva. Arrastra el dibujo para desplazar los ejes; usa la rueda del ratón o los botones para cambiar la escala. En una pantalla táctil, arrastra con un dedo y pellizca con dos.
Parámetros
Vista
En móvil: arrastra con un dedo para desplazar la ventana y pellizca con dos dedos para ampliar o reducir.
Si a ≠ 0, despejamos x: x = −b₁y − b₀ ± √(−(c₂y²+2c₁y+c₀)/a). Por eso se dibujan las dos ramas cuando el radicando es no negativo. Si a = 0, la ecuación solo depende de y y puede dar rectas horizontales, ninguna recta o todo el plano.