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LA PARADOJA DE BERTRAND
Traducción 5. Dibujamos al azar una cuerda en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que sea menor que el lado del triángulo equilátero inscrito?
Podemos decir que si se conoce uno de los extremos de su cuerda, esta conexión no cambia la probabilidad; la simetría del círculo no permite que se le atribuya ninguna influencia, favorable o desfavorable, a la llegada del evento solicitado. Conociendo un extremo de la cuerda, la dirección debe regularse al azar. Si trazamos los dos lados del triángulo equilátero antes del punto dado como vértice, se forman entre ellos y con la tangente tres ángulos de tiu". La cuerda, para ser mayor que el lado del triángulo equilátero, debe encontrarse en la de los tres ángulos que está incluida entre los otros dos. La probabilidad de que el azar entre tres ángulos iguales que pueden recibirlo lo dirija hacia éste parece, por definición, igual a 1/3
También podemos decir si conocemos la dirección d. esta información no cambia la probabilidad. La simetría del círculo no permite que se le atribuya ninguna influencia, favorable o desfavorable. La llegada del evento requiere que se dé la dirección de la cuerda mayor que el lado del equilátero. triángulo, corte uno u otro de los rayos que forman el diámetro perpendicular, en la mitad más cercana al centro. La probabilidad de que así sea, por definición, es igual a 1/2
Todavía se puede decir que elegir una cuerda al azar. es elegir su punto medio al azar. Para que la cuerda sea mayor que el lado del triángulo equilátero, es necesario y suficiente que el punto medio esté a una distancia del centro menor que la mitad del radio, es decir dentro de un círculo cuatro veces menor en superficie según. El número de puntos situados en el interior de una superficie cuatro veces menor es cuatro veces menor. La probabilidad de que la cuerda cuyo punto medio se cruza aleatoriamente sea mayor que el lado del triángulo equilátero parece, por definición, igual a 1/4 Entre estas tres respuestas, ¿cuál es la verdadera? Ninguna de las tres es falsa, ninguna es exacta, la pregunta es si está mal planteada.
Copia del texto del libro, Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque de l'Ecole polytechnique 5. On trace au hasard une corde dans un cercle. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit plus petite que le côté du triangle équilatéral inscrit?
On peut dire si l'une des extrémités do ta corde est connue, ce rénsetgnetnertl ne change pas la probabilité; la symétrie du cercle ne permet d'y attacher rrucune influence, favorable ou défavorable l'arrivée de l'événementdemandé. L'une des extrémité de la corde étant connue, la direction doit être réglée par le hasard. Si l'on trace les deux côtés du triangle équilatéral avant pour sommet le point donné, ils forment entre eux et avec la tangente trois angles de tiu". Lu corde, pour être plus grande que côté du triangle équilatérai, doit se trouver dans celui des trois angles qui est compris entre les deux autres. La probabilitépour que lé hasard entre trois angles égaux qui peuvent le recevoirle dirige dans celui-lu semble, par définition, égale à 1/3
On peut dire aussi si l'on connait la direction d. la corde, ce renseignement ne change pas la probabilité. La symétrie du cercle ne permet d'y attacher aucune inllncncc, favorable ou défavorable Il l'arrivée de l'événementdemande'1. La direction de la corde étant donnée, elle doit, pour être plus grande que le coté du triangle équilatéral, couper l'un ou l'autre cles rayons qui composent le diamètre perpendiculaire, dans la moitié la plus voisine du centre. La probabilité pour qu'il en soit ainsi semble, par définition, égale a 1/2
On peut dire encore choisir une corde au hasard, c'est en choisir au hasard le point milieu. Pour que la corde soit plus grande que le côté du triangle équilatéral, il faut et il suffit que le point milieu soit à une distance du centre plus petite que la moitié du rayon, c'est-à-dire à l'intérieur d'un cercle quatre fois plus petit en surfacc. Le nombre des points situés dans l'intérieur d'une surface quatre fois moindre est quatre fois moindre. La probabilité pour que la corde dont le milieu est clroisi au hasard soit plus grande que le côté du triangle équilatéral semble, par définilion, égale à 1/4
Entre ces trois réponses, quelle est la véritable? Aucune des trois n'est fausse, aucune n'est exacte, la question <-sl mal posée. |
