Lema. Si \(n\) y \(m\) son números naturales y \(n^{2}\) divide a \(m^{2}\), entonces \(n\) divide a \(m\).
Escribimos la factorización en primos de \(n\) y \(m\) extendida a todos los primos que dividen a \(n\) o \(m\):
\[ n=\prod_{p} p^{\alpha_p}, \qquad m=\prod_{p} p^{\beta_p}, \] donde todos los exponentes son enteros no negativos y solo un número finito de ellos es distinto de cero.
Entonces \[ n^{2}=\prod_{p} p^{2\alpha_p}, \qquad m^{2}=\prod_{p} p^{2\beta_p}. \]
La condición \(n^{2} \mid m^{2}\) significa precisamente que para cada primo \(p\) \[ 2\alpha_p \le 2\beta_p. \] Dividiendo entre 2 obtenemos \[ \alpha_p \le \beta_p. \]
Y esta es exactamente la condición que caracteriza \(n \mid m\)
Con esto queda demostrado el lema.
Sea \(k\in\mathbb{N}\) que no es cuadrado perfecto. Supongamos que su raíz cuadrada es racional \(\sqrt{k}=\frac{m}{n},\quad m,n\in\mathbb{N}\)
Esto implica que \(n^{2}\) divide a \(m^{2}\). Por el lema, \(n\mid m\). Es decir, \(k\) sería un cuadrado perfecto.
Por tanto, \(\sqrt{k}\) es irracional siempre que \( k \in \mathbb{N} \) no sea un cuadrado perfecto.