A, B y C van a pelear un duelo de pistolas en tres esquinas. Todos saben que la probabili dad de que A acierte a su objetivo es de 0.3, la de C es de 0.5 y B nunca falla. Deben disparar a su objetivo elegido sucesivamente en el orden A, B, C, cíclicamente (pero un hombre alcanzado pierde más turnos y ya no es disparado) hasta que solo quede un hombre sin alcanzar. ¿Cuál debería ser la estrategia de A?

Solución

Que disparen ciclicamente significa que si el primer disparo lo hace A, el segundo B, si no fue alcanzado, el siguiente C y de nuevo A. Si alguno es alcanzado deja de disparar, y siguen disparando los otros dos alternativamente, por turno.

Naturalmente, A no se siente animado acerca de esta empresa.

Al tener el primer disparo, ve que si alcanza a C, B seguramente lo alcanzará a él, por lo que no va a disparar a C.

Si dispara a B y lo falla, entonces B claramente dispara primero al más peligroso C, y A tiene una oportunidad más de disparar a B con una probabilidad de éxito de 0.3. Si falla esta vez, mejor no decir nada.

Por otro lado, supongamos que A alcanza a B. Entonces, C y A disparan alternativamente hasta que uno acierte. La probabilidad de que A gane es

(0.5) (0.3) + (0.5)² (0.7) (0.3) + (0.5)³ (0.7)² (0.3) +...

Expliquemos los dos primeros sumandos de esta serie geométrica;

El primer sumando representa la probabilidad de que C dispara y falla y A dispara y acierta.

Cada término corresponde a una secuencia de fallos tanto de C como de A que termina con un acierto final de A.

El segundo representa el caso de que C dispara y falla, A dispara y falla, C dispara y falla, A dispara y acierta

 Sumando la serie geométrica, obtenemos

Por lo tanto, alcanzar a B y terminar con C tiene menos probabilidad de ganar para A que simplemente acertar el primer disparo.

Así que A dispara su primer disparo al suelo y luego intenta alcanzar a B con su próximo disparo.

C no tiene suerte.

Comentario

3/13 es la probabilidad que tiene A de ganar habiendo acertado su tiro contra B (suponemos seguro que A elige disparar a B), pero también hay que considerar la probabilidad de que A gane habiendo fallado contra B, esta es

0.3

De modo que si A elige disparar a B su probabilidad de ganar es

0.3·3/13+0.7·0.3=

0.27923076923

3/10 es la probabilidad que tiene A de ganar si su primer disparo es al suelo.

Mosteller añade: "Al discutir esto con Thomas Lehrer, planteé la pregunta de si esa era una solución honorable según el código del duelo. Lehrer respondió que el honor involucrado en duelos de tres nunca se ha establecido, y por lo tanto estamos en terreno seguro al permitir que A falle deliberadamente. "