Ponencia sacada del libro

 RECENT DEVELOPMENTS ON INTRODUCING A HISTORICAL DIMENSION IN MATHEMATICS EDUCATION

año 2011

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Exposición a las Matemáticas en Proceso: Entrelazando Instantáneas de Noticias Matemáticas en la Enseñanza de Matemáticas de Secundaria

Batya Amit, Nitsa Movshovitz-Hadar, Avi Berman

Technion—Instituto de Tecnología de Israel, Israel

9.1 Introducción: La Naturaleza Siempre Creciente de las Matemáticas

Más allá de su glorioso pasado, las matemáticas tienen un presente vivo y un futuro prometedor. Se publican nuevos resultados regularmente en las revistas profesionales; se crean nuevos problemas y se añaden a una plétora de problemas aún no resueltos, los cuales desafían a los matemáticos y ocupan sus mentes.

Movshovitz-Hadar [13] sugirió una clasificación de las noticias matemáticas en cinco categorías que presentamos aquí con ejemplos, muchos de los cuales pueden ser accesibles para estudiantes de secundaria:

1. Un problema recientemente presentado de interés particular y posiblemente su solución. Por ejemplo, el artículo de Herzberg y Murty sobre los problemas matemáticos relacionados con los puzzles de Sudoku [10] y el reciente descubrimiento de Murty de un puzzle de Sudoku con exactamente dos soluciones [14].

2. Problemas abiertos a largo plazo recientemente resueltos. "Recientemente resuelto" se define como los últimos 30 años y "a largo plazo" se define como al menos 100 años. Por ejemplo, la prueba de la conjetura de Kepler; el mapeo del grupo Es; el Problema de los Cuatro Colores; el Último Teorema de Fermat. Para una lista más completa (aunque parcial) vea Movshovitz-Hadar [13].

3. Un problema recientemente revisitado. Esta categoría incluye una nueva prueba de un teorema conocido, o nuevos hallazgos en un problema ya resuelto, o una nueva solución a un problema previamente resuelto, o una generalización de un hecho bien establecido, o incluso un error recuperado. Por ejemplo, en 1996, Robertson, Sanders, Seymour y Thomas publicaron una prueba del Problema de los Cuatro Colores, liberándolo de las dudas sobre su prueba asistida por computadora, provista veinte años antes por Appel y Haken [19]. Otro ejemplo es la constante tasa de error para nuevos números primos, elaborada en la Sección 9.6, a continuación.

4. Un concepto matemático recientemente introducido o ampliado, incluyendo conceptos que evolucionaron hacia nuevas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, el concepto de dimensión, presentado en 1918 por el matemático alemán Felix Hausdorff y luego por Mandelbrot [12] hacia la dimensión no entera y los fractales; La noción de Álgebra de Vértices inventada por Richard Borcherds sobre la cual basó su prueba para el Teorema de Monstruos de Conway-Norton, por la cual recibió la Medalla Fields de 1998 [5, 24].

5. Un evento de relevancia reciente. Por ejemplo, una conferencia importante de matemáticos. Las noticias matemáticas operan como un reloj de alarma que señala que algo importante ha ocurrido y debe ser entendido. Es ficticio decir que se descubrió una pieza de pura matemática...

9.2 El Problema: Una Brecha entre las Matemáticas Escolares y las Matemáticas

En este momento, los planes de estudios de matemáticas escolares en muchos países no reflejan la naturaleza siempre creciente y acumulativa del campo y su carácter basado en problemas. En consecuencia, los estudiantes se gradúan de la escuela secundaria teniendo (la idea equivocada) de que las matemáticas son una disciplina "sin salida", en la que todas las respuestas se conocen, y poco queda para su investigación creativa. Esta afirmación está respaldada por Schoenfeld [20, 21] quien estudió (entre otros temas) las perspectivas y creencias típicas de los estudiantes sobre la naturaleza de las matemáticas, así como por Leder et al. [11] quienes encontraron que los estudiantes no desarrollan actitudes positivas hacia las matemáticas y, en consecuencia, no eligen estudiar matemáticas más allá de los años obligatorios.

Una solución bien aceptada es integrar la historia de las matemáticas en el currículo. Furinghetti y Radford [9] encontraron que las biografías de varios matemáticos servían como una fuente de motivación para los estudiantes, en cuanto a una actitud cardinal-positiva. Fried [8] va un paso más allá, sugiriendo que la historia de las matemáticas asume un papel esencial en la educación matemática tanto como tema como mediador entre los historiadores y los modos de conocer de los matemáticos.

Similar al rol de la historia de las matemáticas, las matemáticas contemporáneas pueden jugar un papel importante en proporcionar el sabor de las matemáticas en proceso, señalando caminos a la creación matemática y abriendo la puerta para futuras actividades en el dominio. La siguiente sección elabora sobre esta solución propuesta.

9.3 Una Solución Propuesta y su Justificación

Como una forma de tender un puente entre las matemáticas escolares y la verdadera naturaleza de las matemáticas contemporáneas, proponemos entrelazar instantáneas de noticias matemáticas de 10 a 15 minutos en la enseñanza de las matemáticas de secundaria, de forma semanal.

Esta propuesta se apoya en los hombros de gigantes, entre ellos Henri Poincaré, quien en 1908 abrió su discurso al 4º ICM en Roma, diciendo: "El verdadero método de prever el futuro de las matemáticas es el estudio de su historia y su estado presente." [15].

El estudio de las matemáticas en su estado presente puede tomar varios modos. El que se defiende en este artículo, es decir, entrelazar instantáneas de noticias matemáticas en la enseñanza ordinaria, asume que una instantánea es un breve intermedio, ocupando una pequeña parte del tiempo de clase semanal, y preferiblemente, pero no necesariamente, vinculada a un tema particular en el currículo, que ocupa la clase durante esa semana. No cambia el flujo del currículo. Un modo alternativo podría ser módulos de lecciones completas, cada uno enfocado en un tema seleccionado. Claramente, tales módulos difieren de una colección de instantáneas breves, intercaladas en el currículo. El modo alternativo fue considerado al planificar el estudio reportado en este artículo. Se decidió enfocarse en el modo de instantáneas debido a las limitaciones de tiempo y de horarios. Esto es similar al dilema enfrentado cuando uno quiere introducir la historia de las matemáticas en las clases de matemáticas [7]. La importancia y los desafíos presentados por este estudio se asemejan en muchos otros modos a aquellos de los estudios educativos en la historia de las matemáticas, ya que la matemática de hoy es la historia de mañana.

Uno puede dudar de la posibilidad de introducir a los estudiantes de secundaria a noticias matemáticas contemporáneas, en base a la falta de los estudiantes de un trasfondo suficiente para afrontar conceptos avanzados. Permítanme citar la respuesta de Hilbert a este dilema:

"El edificio de la ciencia no se levanta como una vivienda, en la que los cimientos se colocan primero y solo entonces se procede a construir y ampliar las habitaciones. La ciencia prefiere asegurar tantas habitaciones cómodas como sea posible para deambular y solo posteriormente, cuando aparecen signos y hay amenaza de que los cimientos sueltos no sean aptos para sostener la expansión de las habitaciones, comienza a apoyarlas y fortalecerlas. Esto no es una debilidad, sino más bien el derecho y la salud del crecimiento y desarrollo." (Citando a Hilbert 1905, p. 119)

Un estudio de matemáticas que presta atención plena a cada detalle e insiste en pulir y refinar cada pieza matemática del trabajo de Curran’s “enfoque romántico” rechaza cualquier ignorancia de estos elementos y fomenta la concentración en lo que está más allá de la rigurosidad de la prueba y la completitud matemática.

Un enfoque similar es introducido por William Thurston, quien prefiere introducir temas matemáticos en una manera general, permitiendo énfasis en la imagen sobre las matemáticas y no meramente en sí mismas [1].

Siu [25] sugirió que la historia de las matemáticas ofrece perspectiva y presenta una imagen más completa de lo que las matemáticas son, señalando que el pasado, presente y futuro de las matemáticas, al estar interrelacionados, hacen de las matemáticas una ciencia acumulativa. Radford [16] abogó por hacer que los estudiantes sean sensibles al carácter cambiante de las matemáticas y reconecten el Saber y el Ser. Swetz [26] abogó por una expansión continua de la exposición al alcance de las matemáticas, recomendando: “Enseñar más sobre matemáticas primero, y luego enseñar matemáticas.” Sus puntos de vista sobre la historia de las matemáticas no son menos relevantes para las matemáticas contemporáneas y, por lo tanto, para nuestro estudio.

De hecho, las instantáneas de noticias no pretenden ser la teoría completa, sino más bien “una ventana alrededor”—intrigantes lo suficiente para impresionar a los estudiantes, detalladas lo suficiente para motivarlos a hacer matemáticas, y mentalmente abiertas para producir la imagen deseada de las matemáticas como un dominio creativo y vívido. Están preparadas para introducir noticias matemáticas dentro del contexto de la creación humana, vinculándola a las personas que participaron en la invención. Cada instantánea es una narrativa que expone la historia (pasado), la novedad (presente) y la naturaleza abierta (futuro) de algún nuevo resultado matemático por un matemático contemporáneo. La mayoría de las instantáneas de noticias matemáticas también explican algunas aplicaciones más allá de las propias matemáticas.

9.4 El Desafío para el Profesor

Las opiniones presentadas anteriormente y adoptadas para integrar las instantáneas de noticias matemáticas en la enseñanza de las matemáticas de secundaria presentan a los profesores algunos desafíos serios.

En primer lugar, la mayoría de los profesores están acostumbrados a enfatizar la puntualidad. Usualmente insisten en el rendimiento de procedimientos algorítmicos rigurosamente, y rara vez se detienen a contar a los estudiantes sobre las matemáticas, y mucho menos sobre resultados contemporáneos. Dado que a menudo también se sienten presionados por la necesidad de “cubrir” el currículo y asegurar el éxito de los estudiantes [3]. Añadiendo a esto las dificultades que los estudiantes enfrentan en el currículo ordinario y los esfuerzos de los profesores para ayudarlos a enfrentar estos desafíos, parece improbable esperar que los profesores entrelacen materiales extracurriculares, incluso intervenciones cortas como las instantáneas propuestas.

Además, la familiaridad de los profesores con las matemáticas contemporáneas puede ser limitada, lo que inhibe la preparación, y mucho menos la introducción, de las instantáneas de noticias matemáticas en sus clases. Obviamente, los recursos y sitios web de las revistas profesionales de matemáticas no se prestan fácilmente a la implementación en el aula de secundaria.

Aparte del conocimiento demandante de las matemáticas y sobre las matemáticas, se requiere obviamente el conocimiento del contenido pedagógico (PCK; [22, 23]). Otro factor es la propia creencia de los profesores sobre la relevancia de las matemáticas contemporáneas para educar matemáticamente a sus estudiantes. Furinghetti & Pekhonen [9] ven las creencias como pertenecientes al conocimiento personal-subjetivo que difiere del conocimiento objetivo.

Finalmente, la cuestión de evaluar el resultado de entrelazar las instantáneas de noticias matemáticas en el currículo implementado en una base semanal, presenta un verdadero desafío.

De hecho, nuevas tareas junto con nuevas responsabilidades se crean para los profesores si se arriesgan a entrelazar las instantáneas de noticias matemáticas como proponemos.

9.5 El Estudio

Como se mencionó anteriormente, el camino para exponer a los estudiantes de secundaria a las noticias matemáticas está sembrado de desafíos. Con el fin de examinar la viabilidad de la solución propuesta, hemos estado involucrados en un estudio experimental en tres clases de un mismo grupo de edad en una escuela secundaria en Israel. El primer autor actúa como profesor-investigador en dos de las clases experimentales y como observador-investigador en la tercera clase. Las tres son clases paralelas, una en cada grupo de edad, que estudian matemáticas al mismo nivel y cuyos resultados en los exámenes estatales son de niveles comparables, sirviendo como grupos de control para varias comparaciones.

Una serie de 10 temas de instantáneas de noticias matemáticas para un programa semanal de entrelazado fue preparada especialmente para el estudio. Están en los siguientes temas:

• La búsqueda de números primos;

• Matemáticas del Sudoku;

• El Último Teorema de Fermat;

• La prueba de la Conjetura de Kepler;

• El mapeo del grupo E8;

• El problema de los Cuatro Colores;

• El álgebra lineal detrás del motor de búsqueda de Google;

• Criptografía RSA;

• La Ley de Benford aplicada al fraude fiscal y al fraude electoral;

• El Teorema Fundamental del Álgebra aplicado a la astrofísica;

Durante el período de desarrollo y a lo largo de la implementación, consideramos regularmente las siguientes cuestiones:

• ¿Cómo podemos decir que una noticia en particular vale la pena introducirla a estudiantes de secundaria?

• ¿Podemos establecer una lista de criterios para seleccionar noticias para el nivel de edad de secundaria?

• ¿Qué hay de la accesibilidad y otros problemas pedagógicos como la conexión con los temas curriculares actuales tratados en clase?

• ¿Qué medios podrían usarse para hacer que los estudiantes de secundaria se interesen en una noticia?

• ¿Cómo hacemos espacio para las preguntas de los estudiantes dentro del tiempo restringido dedicado a la instantánea?

• Reflexionando sobre el objetivo de cerrar la brecha, ¿cómo evaluaría un profesor tal intervención y cómo podríamos evaluar la situación de enseñanza-aprendizaje (una evaluación orientada a objetivos)?

Este documento se basa en parte en un estudio en curso. Más detalles sobre el diseño del estudio, las preguntas de investigación particulares, los procedimientos de intervención, los instrumentos de investigación, los hallazgos y su análisis exhaustivo, estarán disponibles a su debido tiempo. En este artículo, presentamos la primera instantánea a la que los estudiantes fueron expuestos. Esto será seguido por un breve análisis de las reacciones observadas a la instantánea.

9.6 Una Instantánea: "La Búsqueda de Números Primos"

La presentación en PowerPoint de esta instantánea consta de 22 diapositivas. La Tabla 9.1 presenta su contenido verbal y su categorización.

9.7 Análisis de las Reacciones Observadas a la Instantánea

En el grado 11, las clases en las que se realizó una observación sistemática tuvieron lugar por parte del primer autor, donde había 9 niños y 16 niñas. Estudian matemáticas para el examen de matriculación, en el nivel de 4 unidades (de 5).

Uno de los mecanismos de recopilación de datos fue una observación de las reacciones de los estudiantes por parte del investigador durante la activación de la presentación en PowerPoint por parte de un colega-profesor. Las respuestas verbales también fueron grabadas en audio. En total, se registraron 134 reacciones verbales durante la presentación de 15 minutos. Esto indica una participación significativa de los estudiantes en esta parte de la lección. Fueron clasificadas a posteriori por 4 profesores profesionales independientes en 5 categorías principales:

1. Expresiones que indican conocimiento matemático;

2. Establecer conexiones con temas aprendidos previamente, experiencia cotidiana, experiencia personal;

3. Expresiones de interés y motivación;

4. Expresiones de emociones y actitudes: admiración; amor; empatía; desprecio; humor;

5. Expresiones que indican puntos de vista, percepciones o creencias sobre: fórmulas; números; apertura; matemáticas en general o el trabajo de los matemáticos;

La distribución de las reacciones de los estudiantes en varias categorías de diapositivas en la presentación se presenta en la Tabla 9.2.

Los datos en la Tabla 9.2 indican que las reacciones de los estudiantes eran evidentes tanto en el dominio cognitivo (58 en las categorías i, ii) como en el dominio afectivo (76 en las categorías iii, iv, v). Los resultados más dominantes 49/134 se relacionaron con el conocimiento matemático (Categoría i), tanto procedimental como conceptual. Los estudiantes se sintieron libres de compartir sus comentarios—(Cat. iv) y puntos de vista (Cat. v) (39/134, 25/134 respectivamente). 12 de las 134 reacciones expresaron su interés y motivación (Cat. iii) y solo 9 revelaron conexiones (Cat. ii) (9/134).

Si bien uno debería esperar un análisis más detallado de los resultados, ya tenemos una fuerte sensación de que el “enfoque de la instantánea” es útil. Para respaldar esto, concluimos esta sección con 7 citas de los estudiantes:

• Una indicación de adquirir nuevo conocimiento matemático (Cat. i):
  “¿Qué es un número de Mersenne? —¡Lo olvidé! ¿Puedes explicarlo de nuevo?—Oh, ¡lo tengo!”

• Expresiones que indican puntos de vista, percepciones o creencias (Cat. v):
  “¿Cuál es el beneficio de descubrir una fórmula? El proceso aún continuará—¡siempre hay algo más por lo que buscar!”

• “La gente debería trabajar junta—¡Esto es algo para la cooperación!”

Tabla 9.2 Distribución de las Respuestas de los Estudiantes por Categorías y Diapositivas

Expresiones de emociones y actitudes (Cat. iv):
“¡Toda su vida aprenden, trabajan y hacen matemáticas por un solo nuevo número... toda su vida!”
“¿Cómo es que toda esta gente inteligente hace todas estas cosas inteligentes y nosotros solo hacemos estas rutinas estúpidas?”

9.8 Comentarios Finales

Este artículo presenta un estudio de investigación y desarrollo cuyo objetivo es cerrar la brecha entre la naturaleza siempre creciente de las matemáticas y la naturaleza estancada del currículo escolar. Está dirigido a los objetivos de la ESU:

"...llevar a una mejor comprensión de las matemáticas en sí y a una mayor conciencia del hecho de que las matemáticas no solo son un sistema de productos finales bien organizados y finalizados, sino también una actividad humana, en la que los procesos que conducen a estos productos son igualmente importantes que los propios productos." (ESU apunta a la declaración de objetivos, class.pedf.cuni.cz/stehlikova/esu5/01.htm)

La solución propuesta es entrelazar instantáneas de noticias matemáticas en la enseñanza de las matemáticas semanalmente. Se incluyen consideraciones sobre las ventajas y las limitaciones de esta solución. Dado que la segunda ronda del estudio de intervención está actualmente en curso, es demasiado pronto para llegar a un análisis general de la serie de 10 semanas de experimentación de esta solución. No obstante, se incluye un análisis detallado de una instantánea de noticias matemáticas y un análisis parcial de las observaciones de las reacciones de los estudiantes hacia ella. Este análisis preliminar indica reacciones positivas de los estudiantes, incluso un entusiasmo por la nueva ventana que las instantáneas abren a la naturaleza de las matemáticas.

Más allá de la influencia en los estudiantes, y basándonos en las actitudes de los profesores experimentales, creemos que el enfoque sugerido de entrelazar instantáneas de noticias matemáticas en la enseñanza ordinaria también puede ayudar a mejorar la autoestima y el estatus de los profesores de secundaria, así como combatir el agotamiento, tan común entre los profesores después de relativamente pocos años en la profesión.

Se invita a los lectores de este artículo a unirse a este proyecto de investigación y desarrollo en curso realizado en el Technion, Instituto de Tecnología de Israel.

Bibliografía

1. Albers, D. J., G. L. Alexanderson, and C. Reid, 1990, More Mathematical People. HBJ, Publishers.

2. E. Barbin, M. Krongellner, C. Tzanakis (eds.), 2011 (en prensa): History and Epistemology in Mathematics Education: Proceedings of the Sixth European Summer University, Vienna 2010.

3. Barton, B., 2009, The Language of Mathematics, Springer.

4. Berman, A. and N. Shaked-Monderer, 2009, “Nonnegative Matrices and Digraphs”, in: Meyers, R. A., Editor-in-chief, Encyclopaedia of Complexity and Systems Science.

5. Borcherds, R. E., 1992, “Monstrous Moonshine and Monstrous Lie Superalgebras.” Inventions Mathematicae pp. 109, 405–444.

6. Corry, L., 2004. “The Axiomatic Method in Action 1900–1905.” In: David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898–1918). Kluwer Academic Publishers.

7. Fried, M., 2001, “Can Mathematics Education and History of Mathematics Coexist?” Science and Education pp. 10, 391–408.

8. --—, 2007, “Didactics and History of Mathematics: Knowledge and Self-Knowledge” Educational Studies in Mathematics pp. 66 (2), 203–223.

9. Furinghetti, F. and E.Pehkonen, 2002, “Rethinking Characterization of Beliefs”, in: Leder, G. C., Pehkonen, E. and Torner, G. (Eds.): Beliefs: A Hidden Variable in Mathematics Education? pp. 39–59. Kluwer Academic Publishers. The Netherlands.

10. Herzberg, A.M., and R.M. Murty, 2007, “Sudoku Squares and Chromatic Polynomials,” Notices of the American Mathematical Society, pp. 54, 708–717.

11. Leder, G. C., E. Pehkonen, and G. Torner, 2002, “Setting the scene,” in: Beliefs: A Hidden Variable in Mathematics Education? pp. 1–10. Kluwer Academic Publishers.

12. Mandelbrot, B. B., 1977, Fractals: Form, Chance and Dimension. San Francisco, CA: W. H. Freeman and Company, 1977, xviii+ pp 265 (A shorter French version published 1975. Paris: Flammarion).

13. Movshovitz-Hadar, N., 2008, “Today’s news are Tomorrow’s history—Interweaving mathematical news in teaching high-school math.” In: Barbin, E., Stehlikova, N., Tzanakis, C.. 2008 (eds.) History and Epistemology in Mathematics Education: Proceedings of the fifth European Summer University, Ch. 3.12, pp.535–546, Vydavatelestvi Des, Prague 2008.

14. Murty, M. R., 2008, “The Mathematics of Sudoku Squares,” in Queen’s Mathematical Communication spring 2008, p.8-12. Issued by the Department of Mathematics and Statistics, Queen’s University Kingston, Ontario, K7L3N6.

Acerca de los Autores

Batya Amit es candidata a Ph.D. en educación matemática en Technion—Instituto de Tecnología de Israel, con graduación en 2011. Su tesis se centra en entrelazar noticias contemporáneas de matemáticas en la enseñanza de matemáticas en secundaria. Su principal interés de investigación es la introducción de Instantáneas de Noticias Matemáticas en las clases y también en la formación de profesores de matemáticas. Encuentra esto un desafío complejo.

Nitsa Movshovitz-Hadar es profesora de matemáticas y educación matemática en el Technion—Instituto de Tecnología de Israel, y ha estado en la facultad del Technion desde 1975. Nitsa ha dedicado los últimos 12 años de su carrera a la investigación y desarrollo de proyectos que involucran la educación matemática y la historia de las matemáticas.

Ha encabezado importantes proyectos de desarrollo curricular desde 1977 hasta 2011, ha supervisado a 25 estudiantes de posgrado, y de 1986 a 2006 se desempeñó como directora académica de Kesher-Cham—centro de I+D de Israel para mejorar y revitalizar la educación matemática. En 2003 fue Laureada en Residencia en La Villa Media, Grenoble, Francia, mientras que de 1998 a 2002, fue Directora del Museo Nacional de Ciencia de Israel. Desde 2010 ha sido parte del consejo asesor de MOMATH—el museo de matemáticas en Nueva York. Ha publicado un libro (con J. Webb) y numerosos artículos en revistas profesionales (uno de los cuales recibió en 1995 el premio MAA Lester Ford con I. Kleiner). Desde 2009 ha estado dando conferencias públicas en matemáticas.

Avi Berman es Profesor de Matemáticas en el Technion, donde ocupa la Cátedra Académica Israel Pollak. Sus intereses de investigación incluyen Matrices No Negativas, Teoría de Grafos Espectrales, Educación Matemática y Dotación y Creatividad. Fue Jefe del Departamento de Educación en Tecnología y Ciencia y del Centro Académico Preuniversitario en el Technion y ocupó la Presidencia de la Sociedad Israelí para la Investigación y Promoción de la Dotación.