Ángulo de divergencia
Muchas plantas producen sus hojas alrededor de un tallo. Si observamos la planta desde arriba, veremos que cada hoja nueva aparece girada un cierto ángulo respecto de la hoja anterior.
Cuando ese ángulo permanece constante durante todo el crecimiento recibe el nombre de ángulo de divergencia.
En la simulación siguiente puedes elegir libremente dicho ángulo. La primera hoja aparece en la parte superior y las siguientes se van colocando siempre girando el mismo ángulo respecto de la anterior.
Prueba algunos valores como 60°, 72°, 90°, 120° y finalmente 137,5°. Observa cómo cambia la distribución de las hojas.
¿Cómo se construye?
Si el ángulo elegido es \(\alpha\), cada nueva hoja se obtiene girando exactamente ese ángulo respecto de la hoja anterior.
\[ \theta_n=n\,\alpha \]
Es decir, la primera hoja gira un ángulo \(\alpha\), la segunda gira otro \(\alpha\), la tercera vuelve a girar el mismo ángulo, y así sucesivamente. El simulador representa este proceso de crecimiento de forma animada.
Crecimiento del radio
Cada nueva hoja se coloca utilizando la expresión:
\[ r = k\,\sqrt{n} \]
donde:
- \(n\) es el número de la hoja (0, 1, 2, 3, ...).
- \(k\) es una constante de escala que fija el tamaño de la representación.
- \(r\) es la distancia desde el centro hasta la hoja.
En el código JavaScript esta expresión aparece como:
obtenerEscala() * PASO * Math.sqrt(contador);
La función Math.sqrt(contador) calcula la raíz cuadrada del número de hoja. Esto hace que el radio aumente cada vez más despacio:
| Hoja | \(\sqrt{n}\) |
|---|---|
| 1 | 1.00 |
| 4 | 2.00 |
| 9 | 3.00 |
| 16 | 4.00 |
| 25 | 5.00 |
| 100 | 10.00 |
Por ejemplo, para duplicar el radio no basta con duplicar el número de hojas. Si el radio vale 5 cuando \(n=25\), para que pase a valer 10 es necesario llegar hasta \(n=100\). Es decir, el número de hojas debe multiplicarse por cuatro.
Este crecimiento tiene una propiedad geométrica muy importante. El área de un disco de radio \(r\) es
\[ A=\pi r^2. \]
Como el radio cumple \(r=k\sqrt{n}\), resulta
\[ A=\pi(k\sqrt{n})^2=\pi k^2 n. \]
Por tanto, el área aumenta de forma proporcional al número de hojas. Esto significa que cada hoja ocupa, en promedio, la misma cantidad de superficie, produciendo una distribución uniforme y evitando que las hojas se concentren en el centro o queden demasiado separadas en la periferia.