Introducción

En los bordados de Descartes hemos obtenido la siguiente figura utilizando únicamente dos puntadas: una roja y otra azul. Aplicando sucesivamente las rotaciones del grupo cíclico $C_4$ a estas dos puntadas aparecen dos cuadrados, uno exterior rojo y otro interior azul.

Esta construcción recuerda inmediatamente a una conocida demostración geométrica del teorema de Pitágoras, en la que cuatro triángulos rectángulos congruentes forman un cuadrado exterior y delimitan otro cuadrado en su interior. La semejanza entre ambas figuras nos lleva a reinterpretar la demostración clásica desde el punto de vista de las simetrías y de los grupos de rotaciones.

Los bordados de Descartes y el teorema de Pitágoras

Partimos de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitudes $a$ y $b$, y cuya hipotenusa tiene longitud $c$.

La demostración clásica

Tomando cuatro copias del triángulo , se obtiene un cuadrado exterior de lado $c$. En el interior aparece un cuadrado de lado $b-a$.

\[ c^{2} = (b-a)^2 + 4\frac{ab}{2} \] \[ c^{2} = a^{2} +b^{2} \]

En efecto,

\[ c^2 = b^2-2ab+a^2+2ab \] \[ \boxed{ c^2=a^2+b^2 } \]

Interpretación mediante simetrías

La construcción anterior puede interpretarse mediante la acción del grupo cíclico \[ C_4= \{I,R,R^2,R^3\}, \] donde $R$ representa la rotación de $90^\circ$. El cuadrado exterior se obtiene aplicando las transformaciones de $C_4$ a un segmento rojo de longitud $c$, mientras que el cuadrado interior aparece a partir de las imágenes de un segmento azul.

Generalización

Podemos sustituir la rotación de $90^\circ$ por una rotación de ángulo \[ \theta= \frac{360^\circ}{n}. \] Tomando un triángulo cuyos lados $a$ y $b$ forman dicho ángulo y aplicando las transformaciones del grupo cíclico $C_n$ aparecen dos polígonos:

un polígono regular exterior (rojo),
y otro polígono interior (azul).

Para $n=4$ el polígono exterior es un cuadrado y se recupera la demostración clásica del teorema de Pitágoras. Para otros valores de $n$ generaliza el teorema según el grupo $C_n$. Veamos el caso cuando $n=6$

El caso del hexágono

Para $n=6$, el ángulo entre los lados $a$ y $b$ es \[ \theta=\frac{360^\circ}{6}=60^\circ . \] El área de un hexágono regular de lado $1$ es \[ A_6 = 6\frac{\sqrt3}{4} = \frac{3\sqrt3}{2}. \] Por tanto, el área del hexágono exterior es \[ c^2A_6, \] mientras que la del hexágono interior es \[ (b-a)^2A_6. \] La diferencia de ambas áreas coincide con la suma de las áreas de los seis triángulos.

\[ (c^2-(b-a)^2)A_6 = 6A_{\triangle} \] \[ (c^2-(b-a)^2)A_6 = 6\left( \frac12 ab\sin60^\circ \right) \] \[ (c^2-(b-a)^2)A_6 = 6\left( \frac12 ab\frac{\sqrt3}{2} \right) \] \[ (c^2-(b-a)^2)A_6 = \frac{3\sqrt3}{2}ab \] \[ (c^2-(b-a)^2)A_6 = abA_6 \]

Como $A_6\neq0$, podemos simplificar obteniendo

\[ c^2-(b-a)^2=ab \] \[ c^2-b^2+2ab-a^2=ab \] \[ \boxed{ c^2=a^2+b^2-ab } \]

Esta identidad coincide con el teorema del coseno para un ángulo de $60^\circ$:

\[ c^2 = a^2+b^2 - 2ab\cos60^\circ \] \[ c^2 = a^2+b^2-ab \]

El teorema de Pitágoras aparece así como el caso particular correspondiente a $n=4$, mientras que el caso $n=6$ conduce al teorema del coseno para un ángulo de $60^\circ$.

El teorema de Pitágoras puede interpretarse así como el caso particular $n=4$ de una familia de construcciones geométricas obtenidas mediante las rotaciones del grupo $C_n$.

Generalización al grupo $C_n$

Sea $A_n$ el área de un polígono regular de $n$ lados y lado $1$. Dividiendo el polígono en $n$ triángulos isósceles congruentes, cada uno de ellos tiene base $1$ y altura \[ \frac12\cot\left(\frac{180^\circ}{n}\right). \]

\[ A_n= n\cdot \frac12\cdot \frac12 \cot\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \] \[ \boxed{ A_n= \frac n4 \cot\left(\frac{180^\circ}{n}\right) } \]

Por otra parte, el área de uno de los triángulos de lados $a$ y $b$, que forman un ángulo \[ \frac{360^\circ}{n}, \] es

\[ A_T= \frac12ab \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) \] \[ A_T= \frac12ab\, 2\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \] \[ \boxed{ A_T= ab\, \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) } \]

Como aparecen $n$ triángulos congruentes,

\[ nA_T= nab\, \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \]

Utilizando la expresión de $A_n$,

\[ 2A_n = \frac n2 \frac{\cos(180^\circ/n)} {\sin(180^\circ/n)} \]

y por tanto

\[ \boxed{ nA_T = 4ab\,A_n\, \sin^2\left(\frac{180^\circ}{n}\right) } \]

La diferencia de áreas entre los dos $n$-polígonos es igual a la suma de las áreas de los $n$ triángulos:

\[ (c^2-(b-a)^2)A_n=nA_T \] \[ (c^2-(b-a)^2)A_n = 4ab\,A_n \sin^2\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \]

Como $A_n\neq0$, simplificando obtenemos

\[ c^2-(b-a)^2 = 4ab \sin^2\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \] \[ c^2-a^2-b^2+2ab = 4ab \sin^2\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \] \[ c^2 = a^2+b^2 - 2ab \left( 1- 2\sin^2\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \right) \] \[ \boxed{ c^2= a^2+b^2 - 2ab \left(\cos^2\left(\frac{180^\circ}{n}\right)-\sin^2\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\right) } \]

Finalmente, como \[ 2\frac{180^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{n}, \] y \[ \cos\left(\frac{360^\circ}{n}\right) = \cos^2\left(\frac{180^\circ}{n}\right)-\sin^2\left(\frac{180^\circ}{n}\right), \] se obtiene la expresión más familiar

\[ \boxed{ c^2= a^2+b^2 - 2ab \cos\left(\frac{360^\circ}{n}\right) } \]

El caso $n=4$ conduce al teorema de Pitágoras y el caso $n=6$ al teorema del coseno para un ángulo de $60^\circ$. Más aún, para cualquier número de lados $n$, la construcción geométrica obtenida mediante las rotaciones del grupo $C_n$ proporciona una demostración del teorema del coseno para ángulos iguales a 360º/n .