La correspondencia

Entre el 22 de noviembre y el 23 de diciembre de 1693, Pepys en Londres intercambió seis cartas con Newton en Cambridge sobre un problema relacionado con las probabilidades de juego. La razón aparente del interés de Pepys era fomentar la sed de verdad de su joven amigo, el Sr. Smith, aunque más tarde reveló en una carta a George Tollet que él mismo estaba a punto de apostar 10 libras (equivalentes a unos 1.500 dólares actuales) en tal una apuesta. [Existe una relevancia científica genuina; consulte el problema químico a continuación]

La razón más profunda de su afán por mantener correspondencia en ese momento (sólo hay otra carta de Pepys en La correspondencia de Isaac Newton ) puede haber sido que el 13 de septiembre , Newton le había enviado a Pepys una carta extraña y hostil que hizo que Pepys se preocupara por la situación de Newton. cordura. Entonces ambas partes intentaron restablecer relaciones amistosas.

La primera carta a Newton presenta al Sr. Smith, quien tiene una "reputación general... en esta ciudad (inferior a nadie, pero superior a la mayoría) por su maestría [de]... Aritmética" . Al final de la carta Pepys plantea su problema:

Newton acepta muy rápidamente pero nota una ambigüedad:

Me alegró mucho saber de su buena salud por parte del Sr. Smith y tener la oportunidad de mostrar cuán listo debería estar para servirle a usted o a sus amigos en cualquier ocasión y deseo que algo de mayor importancia me brinde una nueva oportunidad de hacerlo para que le resulte más útil que resolver sólo una cuestión matemática. Al leer la pregunta, al principio me pareció mal formulada ...

Entonces Newton reformula la pregunta:

y da la respuesta con una breve explicación:

Si la cuestión se plantea así, mediante un cálculo sencillo se desprende que la expectativa de A es mayor que la de B o C, es decir, la tarea de A es la más fácil. Y la razón es que A tiene todas las posibilidades de obtener seises en sus tintes según sus expectativas, pero B y C no tienen todas las posibilidades en los suyos. Porque cuando B lanza un solo seis o C pero uno o dos seis, no cumplen con sus expectativas.

y una oferta de ayuda adicional:

Pero si he llegado al verdadero significado de la Pregunta, debo presentarles mejores juicios sobre usted y los demás. Si deseas un cálculo, te lo enviaré.

Pepys expresa su profunda gratitud pero admite libremente su ignorancia (recuerde, llegó tarde a la aritmética y desea más ayuda, incluso ver el cálculo real en lugar de solo la conclusión:

... Lo das a favor de las expectativas de A, y esto (como dices) mediante un cálculo sencillo. Pero, sin embargo, no debo pretender tanta conversación con números, tan pronto como debería comprender toda la fuerza de lo que os place asignar por la razón de ello, en relación con que te tengan o no. Benefíciese de todas sus oportunidades; y por lo tanto, si no fuera por vuestras molestias, os habría costado; Podría haber deseado poder verte muy Computación .

Después de tanto "dar vueltas a la pregunta", Pepys sugiere reformular el problema en un formato algo menos numérico que involucre la ejecución de Peter:

Debo confesar que si ahora (después de tanto darle vueltas a su pregunta) comenzara de nuevo mi búsqueda de una solución; Creo que debería evitar algunas de las ambigüedades que comúnmente surgen en nuestros Discursos al respecto, cambiando los caracteres de los dados de Números a Letras, y suponiendo que en lugar de 1, 2, 3, etc. estén marcados con las 6 Letras iniciales. del alfabeto A, B, C, D, E, F. Y el caso debería ser entonces este;

Peter, un convicto criminal, está condenado a morir, Paul, su amigo, prevalece por tener el beneficio de un solo tiro por su vida, sobre dados así preparados; con la elección de cualquiera de estas tres oportunidades, a saber.

Newton reitera su conclusión:

Al exponer el caso de la apuesta, parece que usted tiene exactamente la misma noción que yo; & a la pregunta; ¿Cuál de las tres oportunidades debería elegir Peter si tuviera sólo un tiro para salvar su vida? Respondo que si yo fuera Pedro, elegiría el primero .

Después de proporcionar los detalles de su cálculo, que implica progresiones que no son triviales de seguir pero que le permiten enumerar todas las posibilidades, Newton concluye:

La pregunta podría haberse formulado así y respondido con menos palabras: si Peter tuviera que realizar una sola tirada por una apuesta de 1000 l. Y tiene la opción de lanzar un seis al menos en seis dados, o dos al menos en doce, o tres al menos en dieciocho, qué lanzamiento debe elegir; ¿Y de qué valor sería su oportunidad o expectativa en cada lanzamiento, si la vendiera? Respuesta: en seis dados hay 46656 posibilidades, de las cuales 31031 son para él; a las 12, hay 2176782336 posibilidades, de las cuales 1346704211 son para él : por lo tanto, su oportunidad o expectativa vale la 31031 / 46656a parte de 1000 l. en el primer caso, y la 1346704211 / 2176782336a parte de 1000 l. en el segundo; es decir 665 litros. 0 s. 2 d. [*] en el primer caso, y 618 l. 13s. 4 dias. en el segundo. En el tercer caso, el valor será aún menor.

[*] Aunque entiende bien las fracciones y las libras, ¡Newton tiene algunos problemas con los chelines y peniques! La primera maleta debería valer 665 litros. 2 s. 5p. (como lo señaló HW Turnbull, editor de Newton's Correspondence ) . Obsérvese que Newton no proporciona el cálculo para el tercer caso, más complejo.

Pepys admite libremente que todavía necesita ayuda para comprender POR QUÉ hay una diferencia:

Tampoco debo ocultar que no sé cómo comprender , incluso cuando lanzo 12 tintes de una sola vez en una sola caja (dichos tintes están teñidos, la mitad de verde, la mitad de soplado), que estoy menos preparado para obtener un Seis con cualquiera de estos Paquetes de diferentes colores fueron arrojados juntos fuera de la misma Caja, luego los Seis volaron para ser arrojados fuera de una Caja, y los 6 Verdes de otra; En cuyo último caso, supongo que cada uno de ellos por separado tendría el mismo derecho a producir un Seis con los Seis Unos blancos de A, y como consecuencia de 2 cuando se lanzan juntos. Soy bastante consciente de que esto no es más que una torpeza, y que surge únicamente de que no sé cómo hacer pleno uso de vuestra Tabla de Progresiones; pero os ruego que seáis favorables a mi falta de preparación para seguir vuestro ritmo en ella, y dadme una línea. de más ayuda.

Newton presenta a James, como B, para acompañar a Peter, como A, y proporciona una explicación más clara del motivo de la diferencia:

Si James tuviera el doble de tiros que Peter y con tanta frecuencia como lanza un seis para ganar la mitad de lo que Peter gana con tiros similares, y en consecuencia, James ganara tanto en cada dos tiros como Peter en cada uno. uno de esos lanzamientos, y la mitad en cada uno de esos lanzamientos, sus casos serían iguales. Pero este no es el caso de la apuesta. Tal como está establecida la apuesta, Peter debe ganar tantas veces como lanza un seis, pero James a menudo puede lanzar un seis y aun así no ganar nada porque nunca puede ganar con un seis solo. Si Peter lanza un seis (por ejemplo) cuatro veces en ocho lanzamientos, ciertamente debe ganar cuatro veces, pero James, con igual suerte, puede lanzar un seis ocho veces en dieciséis lanzamientos y aún así no ganar nada. Porque, como se establece en la pregunta de la apuesta, él no gana en cada tiro con un seis como lo hace Peter, sino sólo en cada dos tiros en los que arroja al menos dos seis. Y por lo tanto, si lanza sólo un seis en los dos primeros lanzamientos y sólo uno en los dos siguientes y sólo uno en los dos siguientes y así sucesivamente hasta dieciséis lanzamientos, no gana nada en absoluto aunque lanza un seis el doble de veces que Peter. y, en consecuencia, tendréis la misma suerte que Pedro en vuestros tintes.

Esto cerró la correspondencia Newton-Pepys, pero en diciembre Pepys también le había hecho la misma pregunta a George Tollet, quien finalmente estuvo de acuerdo con los resultados de Newton. También pidió ayuda a su sobrino favorito, John Jackson, para evaluar y comparar los análisis de Newton y Tollet. Pepys escribe para agradecer a Tollet

Que A (en nuestra pregunta) tiene una tarea más fácil que B, y aún más fácil que C; Tal (lo supongo) es la Doctrina de este Documento, y me alegro mucho de poder cumplirla oportunamente, ya que estoy al borde mismo de una apuesta (10 libras de profundidad) sobre mi antigua Creencia.

Pepys bromea sobre cómo podría escapar de esta apuesta pero seguir siendo vulnerable a otra apuesta relacionada en una cafetería de Londres. Él persiste en querer entender:

Pero la apostasía (todos lo sabemos) ahora no es una novedad y, por lo tanto, como otros, me esforzaré por sacar lo mejor de mí y enfrentar a mi antagonista que siempre quise decir eso. Pero entonces debo rogarle a Su Ayde que no me deje vencer (como he visto a veces en Garraways) por una contraoferta, y por falta de saber bien por qué, no sé a cuál atenerme . Pero esto requerirá otra inyección de tu bondad; porque no puedo soportar la idea de convertirme en dueño de una joya que no sé cómo usar.

Pepys cierra proponiendo reunirse con Tollet para una sesión de ayuda esa misma tarde (un miércoles) diciendo "queda demasiado lejos para el viernes". Obviamente se apresuró a buscar ayuda no sólo del profesor, sino también de los "asistentes de enseñanza". Podemos esperar que finalmente haya hecho clic para él.

Dado que no hay más pruebas documentales sobre si Pepys realmente logró aprender a "llevar esta joya", es difícil saber cómo le habría ido en Chem 125. Sin duda, dio a este problema su mejor esfuerzo de una manera que hasta ahora ayudó a los estudiantes de Chem 125 a tener éxito; nunca pretendió entender cuando no lo entendía y persistió en buscar ayuda dondequiera que estuviera disponible.

Es evidente que Newton entendió cómo resolver el problema de Pepys y obtuvo la respuesta numérica correcta, entonces, ¿no debería obtener el 100% si se tratara de una pregunta de examen de Química 125?

Podría decirse que no del todo, porque las preguntas de los exámenes de Chem 125 a menudo piden al estudiante que explique por qué la respuesta es como es, no solo que escriba "sí" o "6.182", o "más orto que para".

Pepys seguía preguntando "por qué", por lo que Newton finalmente lo explicó en términos que iban más allá de la manipulación matemática. En su carta del 23 de diciembre, explicó la razón a la que había aludido crípticamente el 26 de noviembre. Su explicación fue que, mientras que Peter, que lanza sólo 6 dados para al menos un 6, tiene la seguridad de ganar cada vez que lanza un 6, James, que lanza 6 dados dos veces para obtener al menos dos 6, no tiene esa seguridad, porque podría combinar un lanzamiento con un 6 con otro que no tuviera ninguno.

Esto haría parecer que Newton podría pensar que esta explicación es general , de modo que lanzar dados de cuatro caras (tetraédricos) en un grupo de 6 para obtener al menos un 4 debería ser una mejor apuesta que lanzar 12 de esos dados para obtener dos 4. . Parecería aplicarse el mismo principio, pero de hecho la probabilidad de al menos un éxito al lanzar 6 tetraedros es 1-(3/4)^6 = 0,822, mientras que la probabilidad de al menos el doble de éxito con 12 tetraedros es 1-( 3/4)^12-12*(3/4)^11*(1/4) = 0,842.

Para demostrar que tenía una visión integral, Newton debería haber mencionado que podría haber casos en los que lanzar dos veces podría ser una ventaja, debido a la posibilidad de rescatar un lanzamiento sin seises por un lanzamiento con dos o más seises. Cuanto más probable sea que salga un 6, más importante debería ser este segundo término favorable. El segundo término domina (es decir, se prefieren dos lanzamientos a uno) cuando el número de caras de los dados es pequeño, o el número de dados que se lanzan como grupo es grande, de modo que la posibilidad de obtener múltiples aciertos en un lanzamiento es mayor que la probabilidad de cero aciertos. Cuando el número en el grupo lanzado para un éxito es mayor que aproximadamente 1,3 veces el número de caras en un solo dado, se prefieren dos lanzamientos para dos éxitos.

Por tanto, no sería correcto considerar perfecta la respuesta de Newton. Quizás entendía perfectamente las fuentes de la diferencia y simplemente intentaba hacérselo sencillo a Pepys, pero no dio ningún indicio de que entendiera. Demostró claramente que podía hacer cálculos e identificó la fuente dominante en el caso específico sobre el que se le preguntó. Entonces, el 95% parece correcto, porque deja espacio para otorgar más crédito a una respuesta realmente excelente. [No se restarían puntos por la comprensible dificultad de Newton con los chelines y peniques, que, después de todo, era una cuestión secundaria.]

Ciertamente Newton habría sido capaz de obtener una puntuación perfecta en esta cuestión, pero tenía mejores cosas que hacer con su tiempo. Una vez que vio la clave de respuestas, dudo que se hubiera quejado o ofendido por su 95%, y no hay duda de que habría mejorado el curso en su conjunto.

No es sorprendente que las puntuaciones perfectas sean raras en los exámenes de Chem 125, pero la asignación de calificaciones con letras es correspondientemente generosa.

George Tollet y John Jackson, el sobrino de Pepys, en realidad mencionaron la (menor) ventaja de lanzar varios seises en el segundo lanzamiento de seis dados, así como la desventaja de no tirar ninguno. Pero les ayudó el estudio de la respuesta de Newton.

El objetivo principal de esta página web es obviamente proporcionar un ejemplo de actitudes que son importantes para el éxito en Química 125. El curso se centrará más en "¿Por qué?" ¿y cómo lo sabes?" que en la simple respuesta fáctica a las preguntas. La voluntad de reconocer y admitir la necesidad de ayuda y de buscarla es "crucial".

El problema de probabilidad que sirve de marco para esta lección resulta ser relevante para la química orgánica, por ejemplo en el área de la espectrometría de masas de relaciones isotópicas.