El Extremo Pequeño del Palo

Problema 42 libro de Mosteller

(a) Si un palo se rompe en dos al azar, ¿cuál es la longitud promedio del trozo más pequeño?

(b) (Para estudiantes de cálculo.) ¿Cuál es la proporción promedio de la longitud del trozo más pequeño con respecto al más grande?

Solución para El Extremo Pequeño del Palo

(a) Romper "al azar" significa que todos los puntos del palo son igualmente probables como punto de ruptura (distribución uniforme). El punto de ruptura es tan probable que esté en la mitad izquierda como en la mitad derecha. Si está en la mitad izquierda, el trozo más pequeño está en la izquierda; y su tamaño promedio es la mitad de esa mitad, o una cuarta parte de la longitud del palo. El mismo tipo de argumento se aplica cuando la ruptura está en la mitad derecha del palo, y por lo tanto la respuesta es una cuarta parte de la longitud.

(b) Podemos suponer que el punto cayó en la mitad derecha. Entonces \(\frac{1 - x}{x}\) es la fracción si el palo es de longitud unitaria. Dado que \(x\) está distribuido uniformemente de \(\frac{1}{2}\) a 1, el valor promedio, en lugar del intuitivo \(\frac{1}{3}\), es

\[ 2 \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1 - x}{x} dx = 2 \int_{\frac{1}{2}}^{1} \left(\frac{1}{x} - 1\right) dx = 2 \log_e 2 - 1 \approx 0.386. \]