Antes de integrar: ¿qué estamos aproximando realmente?

Una animación puede resultar muy convincente y, sin embargo, esconder el paso esencial: hay que demostrar que la suma de los elementos aproximados converge a la magnitud que queremos calcular.

1. Área: la partición sí funciona

Partición: 8 intervalos
\(\Delta x=\)
Área exacta \(=\)
\(\sum A_i=\)
\(\sum(E_i-A_i)=\)
cota del error \(\le\)

Área del rectángulo

\[ A_i=f(x_i)\,\Delta x_i \]
El trozo real bajo la recta entre \(x_i\) y \(x_{i+1}\) es un trapecio:
\[ E_i= \frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}\,\Delta x_i. \]
Por tanto:
\[ \boxed{E_i-A_i= \frac{\Delta f_i\,\Delta x_i}{2}} \]

La suma de los errores

Como \(f\) es creciente, \[ \sum_i\Delta f_i=f(b)-f(a). \] Si \(\|P\|=\max\Delta x_i\), entonces
\[ 0\leq\sum_i(E_i-A_i) \leq \frac12\|P\|\,[f(b)-f(a)] \longrightarrow0. \]
Ahora sí hemos demostrado que la suma de los rectángulos converge al área.

2. La misma apariencia engañosa para la longitud

Longitud

El exceso de la cuerda sobre su proyección horizontal es
\[ L_i-\Delta x_i= \sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta f_i)^2}-\Delta x_i. \]
Factorizando:
\[ L_i-\Delta x_i= \Delta x_i \left[ \sqrt{1+ \left(\frac{\Delta f_i}{\Delta x_i}\right)^2}-1 \right]. \]
Si \(f\) es derivable, al refinar la partición \[ \frac{\Delta f_i}{\Delta x_i}\approx f'(x). \] Por eso la suma de esos errores no tiene por qué ir a cero:
\[ \sum_i(L_i-\Delta x_i) \longrightarrow \int_a^b \left(\sqrt{1+[f'(x)]^2}-1\right)\,dx. \]
En general, esa integral es positiva, no cero.

La lección: que cada trocito sea muy pequeño no basta. Lo que hay que controlar es la suma total de los errores.
Para calcular la longitud debemos sumar las pequeñas cuerdas, no sus proyecciones: \[ \boxed{ \sum_i\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta f_i)^2} \longrightarrow \int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx }. \]

3. Volumen de una pirámide: la partición completa en 3D

Aquí no mostramos un solo prisma: se muestran todos los prismas de la partición. Cada uno tiene altura \(\Delta x\) y una base cuadrada igual a la sección de la pirámide en el extremo izquierdo del intervalo.

Refina la partición

\(\Delta x\) 0.50
Altura \(h\) 8
Lado de la base \(a\) 6
Intervalos
Volumen de prismas
Volumen exacto 96
Error
En la pirámide de altura \(h=8\) y lado de base \(a=6\), el lado de la sección cuadrada a altura \(x\) es \[ s(x)=\frac{a}{h}x. \] Por tanto, \[ A(x)=a^2\frac{x^2}{h^2}, \qquad \Delta V_i=A(x_i)\Delta x. \] Al hacer \(\Delta x\to0\), \[ \sum_i A(x_i)\Delta x \longrightarrow \int_0^h A(x)\,dx =\frac13a^2h. \]

4. La falacia del área lateral

Visualmente parece que funciona, pero hay que estudiar el error total. Al hacer las particiones cada vez más finas, los prismas azules parecen ajustarse cada vez mejor a la figura. Eso no demuestra por sí solo que la suma de sus áreas laterales converja al área lateral de la figura.

1. El volumen sí funciona

En cada intervalo, \[ \Delta V_i=A(x_i)\,\Delta x. \] Por tanto, \[ \sum_i A(x_i)\,\Delta x \longrightarrow \int_a^b A(x)\,dx. \] Aquí los sumandos son precisamente de la forma \[ \boxed{dV=A(x)\,dx}. \]

2. ¿Qué área lateral suma el prisma?

Si \(p(x_i)\) es el perímetro de la sección en \(x_i\), el prisma azul tiene como área lateral \[ \boxed{A_i=p(x_i)\,\Delta x}. \] Parece razonable pensar que, al hacer \(\Delta x\) muy pequeño, estas áreas deben aproximar el área lateral de la figura. Ahí está la trampa.

3. Hay que calcular el error de cada trocito

Consideremos un pequeño intervalo \([x_i,x_{i+1}]\). La longitud horizontal es \[ \Delta x=x_{i+1}-x_i \] y el cambio vertical es \[ \Delta f_i=f(x_{i+1})-f(x_i). \]

La pequeña cuerda inclinada que sustituye a ese tramo horizontal tiene longitud \[ L_i=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta f_i)^2}. \] Por tanto, si \(E_i\) representa el área lateral correspondiente a la cara inclinada y \(A_i\) la del prisma, la diferencia es \[ \boxed{ E_i-A_i = p(x_i)\left[ \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta f_i)^2}-\Delta x \right]. } \]

Factorizando \(\Delta x\):

\[ \boxed{ E_i-A_i = p(x_i)\,\Delta x \left[ \sqrt{ 1+\left(\frac{\Delta f_i}{\Delta x}\right)^2 }-1 \right]. } \]

4. Lo importante: sumar todos los errores

No basta con que cada error \(E_i-A_i\) sea pequeño. Hay que comprobar qué ocurre con su suma total: \[ \sum_i(E_i-A_i). \]

Si \(f\) es derivable, cuando la partición se hace cada vez más fina, \[ \frac{\Delta f_i}{\Delta x} \longrightarrow f'(x). \] Por tanto, la suma de los errores se comporta como la suma de Riemann \[ \sum_i p(x_i) \left[ \sqrt{1+ \left(\frac{\Delta f_i}{\Delta x}\right)^2} -1 \right]\Delta x, \] y en el límite obtenemos \[ \boxed{ \sum_i(E_i-A_i) \longrightarrow \int_a^b p(x) \left[ \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}-1 \right]dx. } \]

Y aquí está la falacia: esa integral es, en general, positiva, no cero. Es decir, aunque hagamos los prismas cada vez más finos y visualmente parezca que se ajustan perfectamente a la figura, la suma de los errores no desaparece.

Por eso no podemos concluir \[ \sum_i A_i\longrightarrow \text{área lateral de la figura}. \] La animación es visualmente convincente, pero la condición matemática que necesitaríamos —que la suma total de los errores tienda a cero— no se cumple.

La idea que queremos recordar: en una aproximación por particiones no basta con hacer los trozos pequeños. Hay que identificar el elemento \(dE\) que estamos aproximando y demostrar que \[ \boxed{\sum_i(E_i-A_i)\longrightarrow0}. \] En este caso, esa suma no tiende a cero; por eso la aproximación de las áreas laterales de los prismas azules es una falacia aunque el dibujo parezca cada vez más perfecto.
Idea central. Antes de convertir una partición en una integral no basta con dibujar muchos trocitos. Hay que identificar el elemento \(dE\) que estamos aproximando y demostrar que la suma de los errores tiende a cero cuando \(\|P\|\to0\).