3D Matrix Visualization

Si circulita en su paseo tridimensional se encontrara con un pentágono, puede cogerlo y llevarlo a flatland. Nosotros también cogeremos objetos en dimensión n y los traeremos al espacio 3D

Si tenemos 3 vectores de cualquier número de coordenadas, no dejan de ser vectores en un espacio de dimensión 3, luego se pueden mostrar en 3D.

Supongamos que tenemos tres vectores de n coordenadas, el primero con todas sus coordenadas la unidad, y los otros dos muestran los valores de sendas variables x, y de un experimento. Traigamos los tres vectores al espacio tridimensional. Para ello calculamos una base ortonormal del espacio generado por los 3 vectores y las coordendas de los tres vectores en esa base ortonormal.

Vamos a ver como encontrar una base ortonormal de los tres vectores.

Sea B la matriz cuyas filas son los 3 vectores y M=B·B^t aplicaremos el método de esta página para calcular la base ortogonal, que consiste es hacer la transformación de Gauss a M, es decir, se multiplica M por una matriz cuadrada G que es nula por encima de la diagonal principal

GM es una matriz nula por debajo de la diagonal principal,

GB nos da con sus filas una base ortogonal:

GB=Og

Sea R la matriz cuya diagonal son los módulos de las filas de Og

GB= R On, siendo On una matriz ortonormal

Así

B = G^-1R On,

y las filas de G^-1R nos dan cada una las coordendas de las filas de B en una base ortonormal de B

También podemos observar que R² es Og Og^t luego Podemos escribir

GB=ROn= R² R^-1 On = GMG^t R^-1 On

y por tanto

B=MG^t R^-1 On

MG^t R^-1 que coincide con G^-1R nos dan las coordenadas de B en una base ortonormal.

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En el siguiente programa se introduce una matriz con dos vectores fila, las dos variables, y el vector u y estos dos se representan en 3 dimensiones.

los vectores se pueden introducir por filas

como

2,3,4,7
5,3,2,0

o por columnas copiadas de una hoja de cálculo

2	5
3	3
4	2
7	0

estas dos entradas darán la misma matriz a estudiar

Introduce una matriz de 2 filas y cualquier número de columnas (separadas por comas o tabuladores):

Matriz B:

Matriz M (B * B^T):

M define la geometría de los tres vectores. Si cada vector de B tuviera 100 coordenadas, los 300 valores están definidos por estos seis términos de M.

Visualización 3D de vectores en dimensión n

Matriz B:

Matriz M (B * B^T):

Matriz (M ∣ I_m ∣ B):

Proceso de eliminación Gaussiana:

(GM | G | GB), las filas de GB son base ortogonal del espacio generado por B

Matriz \( \frac{1}{\text{det}(G)} \text{adj}(G) \):

Matriz R, módulos de las filas de GB :

Matriz M * (G^T) * R^-1:

Matriz G^-1 * R:

Recta de Regresión:

Visualización 3D de vectores en dimensión n

Matriz B:

Matriz M (B * BT):

Matriz (M ∣ Im ∣ B):

Proceso de eliminación Gaussiana:

(GM | G | GB), las filas de GB son base ortogonal del espacio generado por B

Matriz \( \frac{1}{\text{det}(G)} \text{adj}(G) \):

Matriz R, módulos de las filas de GB :

Matriz M * (GT) * R-1:

Matriz G-1 * R:

Recta de Regresión:

Matriz M (B * B^T):

Matriz (M ∣ I_m ∣ B):

Matriz M * (G^T) * R^-1:

Matriz G^-1 * R: