✅ ¿Cómo se obtiene la métrica inducida?

La métrica riemanniana viene del producto escalar euclídeo en \( \mathbb{R}^3 \), aplicado a los vectores tangentes \( \partial_\theta \, \vec{r} \) y \( \partial_\phi \, \vec{r} \).

Parametrizamos la esfera unidad como:

\[ \vec{r}(\theta, \phi) = \begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi \\ \sin\theta \sin\phi \\ \cos\theta \end{bmatrix} \]

Derivadas parciales:

\[ \partial_\theta \vec{r} = \begin{bmatrix} \cos\theta \cos\phi \\ \cos\theta \sin\phi \\ -\sin\theta \end{bmatrix}, \quad \partial_\phi \vec{r} = \begin{bmatrix} -\sin\theta \sin\phi \\ \sin\theta \cos\phi \\ 0 \end{bmatrix} \]

Ahora hacemos los productos escalares:

• \( g_{\theta\theta} = \langle \partial_\theta \vec{r}, \partial_\theta \vec{r} \rangle = 1 \)
• \( g_{\phi\phi} = \langle \partial_\phi \vec{r}, \partial_\phi \vec{r} \rangle = \sin^2\theta \)
• \( g_{\theta\phi} = \langle \partial_\theta \vec{r}, \partial_\phi \vec{r} \rangle = 0 \)

📐 Métrica de la esfera

Entonces, la métrica riemanniana en la esfera es:

\[ ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2 \]

Y su matriz métrica en coordenadas \((\theta, \phi)\) es:

\[ g = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2\theta \end{pmatrix} \]

🔧 Paso a paso: cómo calcular distancias con la métrica

1. Escoge una curva \( \gamma(t) = (\theta(t), \phi(t)) \) en la esfera

Con \( t \in [a, b] \), que conecte los puntos \( p = (\theta_1, \phi_1) \) y \( q = (\theta_2, \phi_2) \).

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2. Calcula la longitud de la curva usando la métrica

Se toman n puntos sobre la curva y se calcula la distancia euclideana entre cada dos puntos consecutivos.

Con \( g = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta \end{pmatrix} \), la longitud se aproxima con:

\[ \text{Distancia} \approx \sum_{i=1}^{n} \sqrt{ \begin{bmatrix} \Delta\theta_i & \Delta\phi_i \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta_i \end{pmatrix} \begin{bmatrix} \Delta\theta_i \\ \Delta\phi_i \end{bmatrix} } \]

donde \( \Delta\theta_i = \theta_{i+1} - \theta_i \), \( \Delta\phi_i = \phi_{i+1} - \phi_i \).

Esta es una suma de módulos de vectores diferenciales evaluados con la métrica inducida de la esfera:

En el límite continuo se obtiene la integral:

\[ L[\gamma] = \int_a^b \sqrt{ \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 + \sin^2 \theta(t) \left( \frac{d\phi}{dt} \right)^2 } \, dt \]