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Vacaciones por cumpleaños Las leyes laborales en Erewhon requieren que los dueños de fábricas den un día festivo cuando alguno de sus trabajadores cumple años . Excepto por estos días festivos, trabajan los 365 días del año. Los dueños quieren maximizar el número total esperado de días trabajados por año en una fábrica. ¿Cuántos trabajadores tienen las fábricas en Erewhon?
Solución Con 1 trabajador en la fábrica, el dueño obtiene 364 días de trabajo, con 2 usualmente obtiene 2(363) = 726, y por eso anticipamos que con más de 2 trabajadores se maximizarán los días de trabajo en una fábrica. Por otro lado, si la población de la fábrica es enorme, cada día del año es prácticamente seguro que sea el cumpleaños de alguien, y la fábrica nunca trabaja. Consecuentemente, debe haber un máximo finito. Si podemos obtener el número total esperado de días trabajados, estaremos un paso adelante. Cada día es o un día de trabajo o no lo es. Reemplacemos 365 por N para resolver el problema de manera general, y sea n el número de trabajadores. Entonces, la probabilidad de que el primer día sea un día de trabajo es (1- 1/N)n, porque entonces cada trabajador debe tener su cumpleaños en uno de los otros N-1 días. El número esperado de días de trabajo contribuidos por el primer día de trabajo es
Cada día contribuye este mismo número, por lo que el número esperado de días-hombre trabajados por n trabajadores es nN ( 1 — 1 / N ) n. Para maximizar esta función de n, debemos encontrar n de manera que aumentar o dis minuir n reduzca el total, o en símbolos:
La primera desigualdad se reduce a:
La segunda a:
Por tanto n=N o n=N-1 Cuando estos valores se sustituyen en la fórmula para los días esperados del hombre , obtenemos N2 ( 1 — 1 / N ) N (N-1)N ( 1 — 1 / N ) (N-1) que son iguales . Dado que el N-ésimo hombre no agrega nada, N-1 es el valor para n buscado. Las fábricas en Erewhom tienen 364 trabajadores Dado que
obtenemos finalmente N2e - 1 como el número esperado aproximado de días trabajados . Si todos los N hombres trabajaran todos los días , trabajarían N2 días , y por lo tanto e − 1 es la fracción esperada de los días de trabajo reales en comparación con los días potenciales N2 . Por lo tanto, la fracción es aproximadamente 0.37 . El tamaño de la fábrica es 364 , y los días de trabajo son aproximadamente 49000 , asumiendo que no hay otras ausencias . ¡El trabajador número 364 solo agrega 0.37 días a la expectativa total! El trabajo debe ser muy barato en Erewhon .
Créditos
Traducción del problema 34 del libro Fifty
challenging problems in probability ,
MOSTELLER
Vídeo introducción con
lumen5.com
Imágenes creados por chatGPT (DALL-E)
Consolación Ruiz Gil Abril 2024
https://www.matsolin.com/vacaciones/index.htm
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