Nada se está moviendo en círculo.
Cada uno de estos puntos se mueve en línea recta.
– Genial.
Hablas de ocultar lo importante. Esa es la mejor parte. ¿Es esa la mejor parte?
Entonces, si hablo sobre este punto, sí.
Es como si estuviera dibujando un círculo. ¿Sabes? Está dando vueltas alrededor del otro, o el otro está girando alrededor de este.
– Sí, se puede ver de ambas formas, ¿verdad?
Lo que me gusta de esta animación, es que se la he mostrado a muchas personas, y todos ven cosas diferentes.
Algunas personas ven una especie de órbita, en la que uno orbita al otro mientras el otro sigue moviéndose.
¿Esa es una descripción justa de lo que viste? – Sí.
Otras personas ven líneas rectas. – Oh, yo definitivamente veo líneas rectas.
Entonces definitivamente hay un movimiento en línea recta,
y es claramente visible allí y allí, pero al mismo tiempo, otras personas insisten en que hay algo como un movimiento orbital.
Eso me gusta, porque las líneas rectas y los círculos parecen opuestos, aunque hay un sentido matemático en el que pueden ser lo mismo.
Pero ambos se ven en una interpretación ingenua de lo que está ocurriendo.
Terminé haciendo una animación sobre esto cuando estaba en la escuela, porque tenía curiosidad por saber qué era realmente este movimiento.
Y así fue como aprendí a programar en Visual Basic.
Reconstruí esto en GeoGebra.
Quiero mostrarte cómo lo construí y también por qué lo hice.
Tenías razón al hablar de cosas que orbitan, y también tenías razón sobre las líneas rectas.
Si coloco estas líneas, es muy evidente que una se mueve de arriba a abajo y la otra de izquierda a derecha...
Pero siempre se esquivan entre ellas.
Y no hice que se movieran así simplemente trazando sus líneas rectas.
Lo que hice fue hacer que existiera el círculo exterior.
Todavía no me queda claro cómo funciona, pero también hice que existiera este punto.
Ese punto azul en movimiento es cómo construí este archivo.
Ese punto azul controla a los puntos amarillos.
De hecho, el que se mueve de arriba a abajo es exactamente la coordenada vertical del punto azul.
Solo está siguiendo al punto azul en el eje vertical.
Es como la proyección del punto azul sobre un eje vertical, y el otro es la proyección horizontal.
La razón por la cual vemos un movimiento circular es porque está impulsado por un movimiento circular.
Es posible que vieras otra cosa: la conexión entre estos puntos es algo natural de percibir, porque siempre tiene la misma longitud.
Es equidistante —eso es una coincidencia—, y algunas personas promedian mentalmente los dos puntos y ven el punto medio.
Literalmente la posición promedio que ves se mueve en un círculo, lo cual es realmente bonito.
Hay construcciones mecánicas llamadas “trammel de Arquímedes”, con las que puedes dibujar un círculo usando dos movimientos lineales.
Es una manera mecánica de dibujar un círculo perfecto.
Solo restringes estos dos puntos a moverse en líneas rectas.
– No lo había notado. – Muchas personas no lo ven, pero intuitivamente sienten algo circular.
Volvamos a la razón por la cual construí esto.
Los puntos amarillos son las coordenadas del punto azul.
Centrémonos solo en la vertical.
¿Qué crees que pasaría si sigo la posición vertical con el tiempo? Es decir, si dibujo una gráfica.
¿Qué forma tendría esa gráfica?
La próxima vez comenzamos desde el lado derecho.
Voy a seguir la coordenada Y y verás una gráfica que tal vez te parezca familiar.
¿Alguna idea, Brady? – Es como una curva seno o algo así.
– Es exactamente una curva seno. De hecho, no es solo una curva seno cualquiera. Es LA curva seno.
Fui profesor durante mucho tiempo. Enseñaba trigonometría: seno y coseno aparecían, y...
Cada vez que tenía una clase aprendiendo eso, alguien preguntaba: “Profe, ¿qué es el seno? ¿Qué significa?”
Hay muchas respuestas. Algunas personas lo ven como una razón: opuesto sobre hipotenusa. Esas pueden ser palabras familiares. Otras personas lo ven como una función: tiene una entrada y una salida.
Esas cosas son ciertas. Pero lo que me gusta de una tercera respuesta —que voy a darte ahora— es que captura ambas cosas.
El seno es la coordenada Y de un punto que se mueve en un círculo. Curiosamente, no tiene nada que ver con triángulos.
A pesar de que el nombre “trigonometría” viene de “trigon” (triángulo) y “metría” (medición), creo que es el nombre peor puesto en toda la matemática.
El seno es una función circular. De hecho, es una de las funciones circulares, porque hay otra coordenada que aún no hemos rastreado.
Así que hagámoslo: la coordenada horizontal. La que se mueve de izquierda a derecha.
Si la rastreo hacia arriba, vas a ver el comienzo de ella. No será una gran sorpresa cuando notes que dibuja el comienzo de una onda coseno.
Y si la proyectas hacia abajo, verás la onda coseno, que es exactamente la misma que la onda seno pero desplazada.
Es como si el círculo hubiera girado un poco más.
Así que seno y coseno, como funciones o como objetos matemáticos, son precisamente la coordenada Y y la coordenada X de un punto que se mueve en un círculo.
Por eso son importantes, porque casi todo lo que ocurre en ciclos o se repite —es decir, la mayoría de las cosas— puede describirse con círculos, y por lo tanto, con trigonometría.
— ¿Una onda coseno es muy diferente de una onda seno entonces?
— Es exactamente lo mismo. Literalmente, la onda seno está ahí, y la onda coseno es la misma, solo desplazada; es el seno de otro ángulo. No hay ángulos obvios aquí.
Pero los triángulos sí tienen ángulos, y usamos trigonometría con ángulos.
Entonces, el ángulo proviene —si dibujo el radio— del centro de este círculo.
El ángulo me da una forma de medir dónde está el punto azul en cualquier momento. Por ejemplo, ángulo cero está allí.
Es el ángulo que forma el radio, y por eso haces el seno de un ángulo, y te da la coordenada.
Y el coseno en realidad es el seno del otro ángulo: es el ángulo entre la vertical y este radio, en lugar de la horizontal.
Y por eso seno y coseno son básicamente lo mismo. Me encanta el hecho de que ver esto en movimiento me ayuda a entender la trigonometría.
No hay un solo triángulo a la vista, hasta que vuelves a poner ese radio, y entonces puedes ver que hay un triángulo rectángulo girando dentro de aquí.
Y por eso la trigonometría tiene que ver con triángulos rectángulos.
Es porque las coordenadas X e Y están en ángulo recto, y el radio forma la hipotenusa.
Pero eso significa que seno y coseno son como dos aspectos del mismo movimiento, solo vistos desde diferentes perspectivas.
Y cuando alguien me señaló esto, me preguntaron: “¿Podrías dibujarlo en tres dimensiones?” Eso suena interesante.
Tengo esto en GeoGebra, inspirado por un estudiante al que estaba enseñando en ese momento.
Así que déjame mostrarte una versión tridimensional de esto.
Ahí está el círculo original que tenía, esa es la vista que teníamos antes. Es el mismo movimiento que ya vimos, pero ahora en un modo tridimensional.
Tengo este eje que se aleja en la distancia.
Vamos a rastrear la posición de "a", y el tiempo ahora va a ir hacia el fondo en esa dirección.
Voy a empezarlo ahora, y verás ese punto yéndose hacia el espacio.
Es un poco difícil de ver sin mover la cabeza en un mundo tridimensional.
Así que puedo activar la trayectoria, y puedes ver —quizás no sea sorprendente— que se forma una especie de espiral saliendo.
Y yo diría que la mayoría de las personas lo predecirían.
Pero eso significa que el seno y el coseno están, de alguna manera, precisamente dentro de esa espiral, porque son solo aspectos de esa espiral.
Si miras desde el costado…
Ahí está la onda seno.
Lo que significa que, si quieres ver la onda coseno, probablemente deberías mirar desde arriba o desde abajo.
Ahí está la onda coseno. Puedes ver que es la misma onda, solo que empieza en un lugar diferente.
Y si vuelves al frente otra vez...
Todo esto son solo proyecciones de un círculo.
Así que seno y coseno son útiles porque son como versiones comprimidas del movimiento circular en una sola dimensión.
Y pensé que esta diagonal en 3D realmente me ayudó a entender de dónde viene todo esto.
Esto plantea la pregunta: hay una tercera función trigonométrica que la mayoría de la gente conoce, y aún no te la he mostrado.
¡Tangente! — Tangente. ¿Sabes de dónde viene la palabra "tangente", Brady?
— ¿No es de "tangent"? — Sí, ¿y qué es una tangente?
— Es una línea que como que roza un círculo. — Exacto, tangente viene del latín y significa “tocar”.
Así que una tangente es algo que simplemente toca la curva, no necesariamente tiene que ser un círculo.
La palabra viene precisamente de esa configuración.
Este es un archivo un poco más avanzado.
Puedo mostrarte todas las cosas. Primero, recordatorio: una función seno, y ahí está la gráfica que estamos construyendo. Y el coseno es la otra dirección, y puedes ver cómo las gráficas se forman, trazando su camino.
La tangente viene de dibujar una tangente.
Pero si dibujo una tangente vertical en el lugar donde comienza todo este movimiento y sigo dónde la línea del radio cortaría la tangente...
Obtendrás una situación que se ve así. Ahí está la línea tangente, y la línea del radio siempre cortará esa línea en algún lugar.
Y entonces esta longitud verde es precisamente la función tangente.
También es la pendiente del radio, porque la tangente se define como seno dividido por coseno.
Para mí fue un gran alivio personal descubrir que la palabra "tangente" no era una coincidencia con la otra definición de tangente,
la que dice que es una línea que simplemente toca el círculo.
Estas tres gráficas están todas relacionadas con un círculo. Son cosas realmente geométricas.
No tienen mucho que ver con triángulos, excepto por accidente, debido a los ejes de coordenadas.
Hay tres funciones más que se aprenden en el nivel avanzado en la escuela, que son el inverso de estas funciones.
Así que sec, cosec y cot son uno sobre estas tres, y también están en este diagrama.
Si activo cosecante —también conocida como uno sobre seno— al igual que el seno, que es una longitud vertical en este diagrama, la cosecante es donde la tangente corta el eje vertical.
Y puedes ver que a medida que el seno crece, la cosecante disminuye, hasta que se igualan en un punto, y luego vuelve en la otra dirección.
Y así, esta gráfica en forma de U aquí es la función cosecante, también conocida como uno sobre seno.
Y lo mismo sucede con secante, que es donde la tangente intersecta el eje X.
Y cotangente, uno sobre tangente, termina siendo la otra tangente en la parte superior,
es decir, donde el radio intersecta esa otra línea.
Todas las funciones trigonométricas que aprendemos en la escuela en realidad están relacionadas con círculos,
lo cual es la razón por la que se llaman funciones circulares.
Y en cierto modo, desearía que llamáramos a la trigonometría “funciones circulares” desde el principio,
aunque el uso más común que le damos sea para encontrar lados faltantes en un triángulo rectángulo.
Hay una cosa más que quería mostrarte.
Tenía este diagrama funcionando antes, donde estos dos puntos se movían, pero ahora ya sabes cómo lo hice.
Coloqué esas dos líneas allí, como la proyección de ese punto exterior, la proyección vertical y horizontal.
Una vez que me di cuenta de que podía hacer eso, no tenía que limitarme a dos líneas. Podía usar tres líneas.
Obtienes un efecto realmente bonito con estos tres puntos moviéndose, y siempre se esquivan entre sí.
Se mueven en lo que podrías llamar movimiento armónico simple, pero están alineados de tal forma que nunca se tocan.
Bueno, esto simplemente me encanta. Así que voy a aumentar la cantidad de líneas.
Aquí vamos.
Lo que me encanta de esto es que todo el mundo puede ver el círculo amarillo y...
¡Mente volada!
Los puntos están definitivamente en un círculo, pero nada, nada se está moviendo en un círculo.
Cada uno de estos puntos se está moviendo en línea recta.
Si tomo uno con mi dedo —este— solo se mueve hacia adelante y hacia atrás en un movimiento sinusoidal, lo que llaman un movimiento ondulatorio.
Pero todos ellos, alineados de cierta manera, crean una hermosa ilusión de un círculo que gira dentro de algo.
Para programar esto solo necesitas saber cómo hacer una onda seno, simplemente desplazándola cada vez, y es solo una ilusión óptica muy bonita que me gusta.
— ¡Genial! — Hablas de guardar lo mejor para el final. Esa es la mejor parte. — ¿Esa es la mejor parte? — Sí.
Esa es la parte que no tiene ningún uso.
Pero a mí me encantan las cosas que no tienen ningún uso.
La cosa es que amo las matemáticas porque son hermosas. Resulta que también son útiles, pero los matemáticos normalmente hacen cosas porque son agradables, y luego dicen: “Ah, sí, también son útiles. Pero las habría hecho igual.”
— Muy bien. — Me hiciste esperar.
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