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Cincuenta caras de 100 Una División Equitativa en el Lanzamiento de Monedas Cuando se lanzan 100 monedas , ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 50 sean caras ?
Aquí
podemos ver registrados los resultados de los usuarios que
interactuen con la simulació, es la comprobación experimental de
que la probabilidad es 0,08 aproximadamente.
Solución
Ordenemos las 100 monedas de izquierda a
derecha , y luego lancemos cada una .
La probabilidad de
cualquier secuencia particular de 100 lanzamientos , una
secuencia de 100 caras o de una secuencia de 50 caras y 50
cruces , es la misma:
( 1/2 )100
porque las
monedas son justas y los lanzamientos son independientes .
Por
ejemplo , la probabilidad de que las primeras 50 sean caras y
las siguientes 50 sean cruces es ( 1/2 )100 .
¿Cuántas formas hay
de ordenar 50 caras y 50 cruces en una fila ?
En la Solución
para la Mano Perfecta de Bridge encontramos que
se podría usar coeficientes binomiales para hacer el conteo.
Denotemos el número combinatofio m sobre n como Cm,n
Cm,n=m!/(n!· (m-n)!)
Hay C100,50 maneras de ordenar 50 caras y 50 cruces en una fila
De modo que la probabilidad de 50 caras y 50 cruces es
Evaluando esto con logaritmos concluimos que vale aprox
0.07959
es decir aproximadamente el 8%
Aproximación de Stirling
A veces, para
trabajar teóricamente con factoriales grandes, usamos la
aproximación de Stirling
donde e es la
base de los logaritmos naturales.
El error porcentual en la
aproximación es aproximadamente
100 / (12n).
Usemos la
aproximación de Stirling en la probabilidad de una división
pareja
Dado que 1 / √2π es aproximadamente 0.4, la aproximación da
aproxima damente 0.08 como obtuvimos antes.
Más precisamente, la
aproximación de cuatro decimales 0.0798 en lugar de 0.0796.
La
aproximación de Stirling se discute en libros de cálculo
avanzado. Para un buen tratamiento, ver R. Courant, Cálculo
diferencial e integral, Vol. I, traducido por E. J. McShane,
Interscience Publishers, Inc., Nueva York, 1937, pp. 361-364. O
pág
430 del manual de la universidad de Granada
Créditos
Vídeo introducción con
lumen5.com
Simulación realizada por chatGPT
Consolación Ruiz Gil Abril 2024
https://www.matsolin.com/50caras/index.htm
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