Cálculo de Coordenadas en una Base

Sección 1

Sea un vector \( W = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 & -2 & 6 & 4 \end{pmatrix} \).

Queremos hallar sus coordenadas en la base:

\[ \mathbf{u_1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ \mathbf{u_2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ \mathbf{u_3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

\[ \mathbf{u_4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ \mathbf{u_5} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

La matriz \( M \) es:

\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]

La inversa de la matriz \( M \) es:

\[ M^{-1} =1/2 · \begin{pmatrix} 0 & 4 & -2 & -4 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 0\\ 2 & -4 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]

Multiplicamos las primeras cinco coordenadas de W = (1, 0, 1, 3, -2) por la inversa de \( M \)

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 & -2 \\ \end{pmatrix}· 1/2 · \begin{pmatrix} 0 & 4 & -2 & -4 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 0\\ 2 & -4 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \]

Y estas son las coordenadas de W en la base de los ui

Sección 2
Tenemos un punto en el plano determinado por dos vectores
u1= (1, 2, 3, 4, 3, 2, 3)

u2= (1, 2, 1, -1, 1, 1, 1)

Queremos saber si el punto P del plano <u1, u2> está dentro del triángulo de vértices (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), u1 y u2 o fuera
Para ello calcularemos las coordenadas de P en <u1 u2> si estas son positivas y su suma menor que 1, P estará dentro del triángulo si no cumple alguna de estas tres condiciones, estará fuera (o en el líminte si alguna coordenada es cero y la otra 1, o si las dos coordenadas son positivas y su suma justo igual a 1)

Para hallar las coordenadas tomamos la matriz cuadrada de dos columnas de
\[  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 3 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

que den determinante diferente de cero , por ejemplo la primera y la tercera

\[M=  \begin{pmatrix} 1 & 3  \\ 1 & 1  \end{pmatrix} \]

Su inversa es \[ M^{-1} =-1/2 · \begin{pmatrix} 1 & -3  \\ -1 & 1  \end{pmatrix} \]

Si P =( 1, 2, -1, -6, -1, 0, -1). tomamos su primera y tercera coordenada y las multiplicamos por esta inversa para obtener las coordenadas de P en <u1, u2>

\[ \begin{pmatrix} 1 & -1  \\ \end{pmatrix}· -1/2 · \begin{pmatrix} 1 & -3  \\ -1 & 1  \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} -1 & 2  \\ \end{pmatrix} \]

Luego el punto P está fuera del triángulo

Sección 3

La inversa de una matriz nxm

Sea M una matriz de n filas y m columnas con n<m vamos a encontrar un matriz H en el mismo subespacio que el generado por las n filas de n en IR^m tal que

M·H^T=I_n

Esta claro que lo que buscamos para cada ui es un vector que sea ortogonal a tosos los uj con j distinto de i.

Tal y como se procede en esta página para realizar la ortogonalización Gram-Schmidt de los vectores fila de M, continuaremos ese mismo proceso con el método de Gauss hacia arriba, de forma similar a cuando se realiza la inversa de una matriz cuadrada por el método de Gauss.

EJEMPLO

A la izquierda la matriz cuadrada M·M^t y a su lado la matriz M con los 3 vectores fila que se desean ortogonalizar

Se realiza la transformación de Gauss en la matriz

Simplificamos la segunda fila entre 23

A fila1 le resto 3·fila2

La matriz H es   1/201 por

la matriz M es

M·H^T da

Sección 4

De nuevo al comienzo

Con este método de la inversa de una matriz rectangular se puede crear el algoritmo para calcular las coordenadas (a, b, ...) de la sección 1, bastará multiplicar W por la inversa de M o matriz cuyas filas son los vectores ui.