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Un instrumento imparcial para medir distancias comete errores aleatorios cuya distribución tiene una desviación estándar σ. Se te permite hacer dos mediciones para estimar las longitudes de dos varillas cilíndricas, una claramente más larga que la otra. żPuedes hacerlo mejor que tomar una medición en cada varilla? (Un instrumento imparcial es aquel que en promedio da la medida verdadera.)
Sí. Sea A la longitud verdadera de la más larga y B la de la más corta. Podrías colocarlas lado a lado y medir su diferencia en longitud, A - B, y luego medirlas de extremo a extremo y medir la suma de sus longitudes, A + B. Sea D tu medición de A - B, S de A + B. Entonces una estimación de A es \(\frac{1}{2}(D + S)\), y de B es \(\frac{1}{2}(S - D)\). Ahora D = A - B + d, donde d es un error aleatorio, y S = A + B + s, donde s es un error aleatorio. Por lo tanto, \[
\frac{1}{2}(D + S) = \frac{1}{2}(A - B + d + A + B + s) = A + \frac{1}{2}(d + s)
\] En promedio, el término \(\frac{1}{2}(d + s)\) es cero porque tanto d como s tienen media cero. La varianza de la estimación de A es la varianza de \(\frac{1}{2}(d + s)\), que es \[
\frac{1}{4}(\sigma^2 + \sigma^2) = \frac{1}{2}\sigma^2
\] Este valor es idéntico a la varianza de promediar dos mediciones independientes. Así, ambas mediciones han contribuido su valor total para medir A. De la misma manera, puedes mostrar que la varianza de la estimación de B es también \(\frac{1}{2}\sigma^2\). Por lo tanto, tomar dos mediciones, una de la diferencia y otra de la suma, da estimaciones cuya precisión es equivalente a la de usar 4 mediciones, dos en cada varilla por separado. Para lograr estos buenos resultados, debemos ser capaces de alinear los extremos de las varillas perfectamente. Si no podemos, en lugar de dos alineaciones para cada medición, tenemos tres. Si cada alineación contribuye con un error independiente con desviación estándar de \(\sigma/\sqrt{2}\), entonces una medición de la suma o la diferencia tiene desviación estándar de \(\sigma \sqrt{3/2}\). Entonces, la varianza de nuestra estimación de A sería \[
\frac{1}{4} [\sigma^2 \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \sigma^2 ]= \sigma^2 \cdot
\frac{3}{4} =\sigma^2 / \frac{4}{3} \] Bajo estas suposiciones, nuestra precisión es solo tan buena como \( \frac{4}{3} \) mediciones independientes en lugar de 2, pero aún mejor que una sola medición directa. Podemos reconsiderar la asignación de desviación estándar de \(\sigma/\sqrt{2}\) para cada alineación como el resultado de la suma de dos mediciones independientes imparciales, cada una con varianza \(\sigma^2/2\). Luego, la suma de los errores componentes produciría la varianza asumida anteriormente de \(\sigma^2\). Cuando también asignamos la tercera alineación la varianza es \(\sigma^2/2\), nuestro modelo está completo. Puedes leer sobre varianzas de medias y sumas de variables independientes en
PWSA, pp. 318-322.
Introduce las medidas exactas de A y B, y la desviación estándar sigma: Créditos
Vídeo introducción con
http://www.lumen5.com
Simulación realizada por chatGPT
Consolación Ruiz Gil Mayo 2024
https://www.matsolin.com/mayornumero/index.htm
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