De Farey a Fibonacci

Un recorrido visual por las fracciones, los círculos de Ford, una parábola sorprendente y la sucesión de Fibonacci.

1. ¿Qué es una sucesión de Farey?

La sucesión de Farey de orden \(n\), representada por \(F_n\), es la lista ordenada de todas las fracciones irreducibles comprendidas entre 0 y 1 cuyos denominadores no superan \(n\). Se incluyen \(0/1\) y \(1/1\).

\[F_5=\left(\frac01,\frac15,\frac14,\frac13,\frac25,\frac12,\frac35,\frac23,\frac34,\frac45,\frac11\right)\]

Elige un orden y observa cómo se incorporan nuevas fracciones.

Si \(a/b\) y \(c/d\) son dos fracciones consecutivas de una sucesión de Farey, entonces \(bc-ad=1\). Su medianta es

\[\frac ab\quad\longrightarrow\quad\boxed{\frac{a+c}{b+d}}\quad\longleftarrow\quad\frac cd\]

Esta fracción está estrictamente entre las dos anteriores. Aparece al aumentar el orden hasta \(b+d\), y es la primera fracción que puede intercalarse entre ellas en una sucesión de Farey de orden mayor.

2. Los círculos de Ford

A cada fracción irreducible \(p/q\), con \(q>0\), asociamos un círculo tangente al eje horizontal justo en \(x=p/q\). Su radio es \(r=1/(2q^2)\), de modo que su centro es:

\[\boxed{C_{p/q}=\left(\frac pq,\frac1{2q^2}\right),\qquad r_{p/q}=\frac1{2q^2}}\]

Los círculos de Ford nunca se solapan por dentro. Los correspondientes a dos fracciones irreducibles \(a/b\) y \(c/d\) son tangentes entre sí exactamente cuando \(\lvert ad-bc\rvert=1\).

Arrastra para desplazar y usa la rueda del ratón o dos dedos para ampliar. Pulsa un círculo para conocer su fracción y su radio.

Selecciona un círculo

¿Por qué son tangentes?

La distancia horizontal entre los centros es \(\lvert a/b-c/d\rvert=\lvert ad-bc\rvert/(bd)\). Como ambos círculos tocan el eje, la condición de tangencia entre ellos se reduce a

\[\left(\frac ab-\frac cd\right)^2=4r_1r_2=\frac1{b^2d^2}\quad\Longleftrightarrow\quad |ad-bc|=1.\]

Si los círculos de \(a/b\) y \(c/d\) son tangentes, el de la medianta \((a+c)/(b+d)\) es tangente a ambos y al eje. Por eso la operación aritmética de sumar numeradores y denominadores tiene una interpretación geométrica.

3. La parábola de los centros de \(1/n\)

Consideremos los círculos correspondientes a las fracciones \(1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\ldots\). Sus centros tienen coordenadas

\[C_n=\left(\frac1n,\frac1{2n^2}\right).\]

Si escribimos \(x=1/n\), resulta inmediatamente:

\[\boxed{y=\frac{x^2}{2}}\]

Por tanto, todos esos centros están sobre la parábola \(y=x^2/2\). La parábola no pasa por los centros de todos los círculos de Ford, sino por los de la familia particular \(1/n\).

Los puntos rojos indican los centros; la curva roja representa \(y=x^2/2\).

4. Una cadena de tangencias que descubre Fibonacci

Ahora elegimos dos fracciones iniciales, \(1/2\) y \(1/3\). Son vecinas porque \(1\cdot3-1\cdot2=1\). Construimos el círculo tangente a las dos y al eje en el hueco entre ambas: corresponde a su medianta \(2/5\).

Repetimos el proceso tomando las dos últimas fracciones y colocando la nueva medianta entre ellas. Aparecen:

\[\frac12,\quad\frac13,\quad\frac25,\quad\frac38,\quad\frac5{13},\quad\frac8{21},\quad\frac{13}{34},\ldots\]

Si \(F_1=F_2=1\) y \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\), la cadena anterior, desde \(1/2\), tiene la forma

\[\boxed{\frac{F_n}{F_{n+2}}\quad(n=1,2,3,\ldots)}\]

Así, al construir cada nuevo círculo, tanto su numerador como su denominador son la suma de los dos anteriores. La geometría reproduce la recurrencia de Fibonacci.

Además, estas fracciones se acercan alternativamente al valor

\[\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n+2}}=\frac1{\varphi^2}=\frac{3-\sqrt5}{2}\approx0{,}381966,\qquad\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]

Un matiz: esta construcción no es única; para obtener esta cadena concreta hay que partir de \(1/2\) y \(1/3\) y elegir sucesivamente la medianta de las dos últimas. Los círculos nuevos se hacen cada vez más pequeños y sus puntos de tangencia con el eje convergen al número indicado.

5. El vídeo completo

Como cierre, aquí tienes el vídeo original, que recoge visualmente el recorrido desde Farey hasta Fibonacci.

Para ver el vídeo sin conexión, conserva Farey.mp4 en la misma carpeta que este HTML. Las fórmulas matemáticas utilizan MathJax y requieren conexión a Internet.