Grupos de simetría

Si el número de pétalos es n, la escena puede representar dos grupos:

C_n : grupo cíclico de orden n. Está formado únicamente por las rotaciones

C_n = { Id, ρ, ρ², ..., ρ^n-1 }.

D_n : grupo diédral (o diedrico) de orden 2n. Está formado por todas las simetrías de un polígono regular de n lados:

n rotaciones y n reflexiones.

D_n = C_n ∪ σC_n

En la escena:
☐ Grupo C_n : aparecen únicamente las figuras obtenidas mediante rotaciones.

☑ Grupo D_n : aparecen además sus imágenes reflejadas, obteniéndose en total 2n figuras.

Definición algebraica

El grupo diédral está generado por dos transformaciones:

• ρ : giro de 360°/n.
• σ : una reflexión.

Cumplen las relaciones:

ρⁿ = Id
σ² = Id
σρσ = ρ^-1

¿Por qué es importante?

• Es el ejemplo más sencillo de grupo no conmutativo.
• Describe todas las simetrías de los polígonos regulares.
• Aparece en mosaicos, bordados, rosetones y mandalas.
• Se utiliza en cristalografía, química y física.
• El grupo D₃ es isomorfo al grupo de permutaciones S₃.
• Muchos objetos naturales poseen simetría diédral.

Resulta sorprendente que toda esta riqueza geométrica surja únicamente a partir de dos transformaciones muy simples:

un giro y un espejo.

Ejemplo: el grupo D₃

La figura siguiente está formada inicialmente por cuatro puntadas.

Las figuras rojas muestran las tres transformaciones del grupo cíclico

C₃ = { Id, ρ, ρ² }

obtenidas mediante rotaciones sucesivas de 120°.

Las figuras azules son las imágenes especulares respecto del eje horizontal de las figuras rojas. Representan el conjunto

σ(C₃) = { σ, σρ, σρ² }

Las figuras rojas y azules muestran conjuntamente las seis transformaciones del grupo diédral

D₃ = C₃ ∪ σC₃

Por tanto, a partir de únicamente cuatro puntadas iniciales, el grupo D₃ genera seis copias de la figura: tres obtenidas por rotación y otras tres obtenidas mediante reflexión.

Ejemplo: Pétalos = rayos

En la siguiente galeria se muestran capturas de una misma figura al variar los pétalos. Se parte de 3 pétalos y 3 rayos, y se dió una puntada de cada color, después simplemente se cambia el númer de pétalos, tomando siempre el mismo número de rayos que de pétalos.

Ejemplo: nPolígono c - nPolígono (b-a) = n triángulos abc con ang(ab) = 360º/n

Se muestran las transformaciones por el grupo \(C_n\) de una puntada roja y otra azul. Para \(n=4\), $$ c^{2}-(b-a)^{2}=4\frac{ab}{2}, $$ es decir, $$ c^{2}-\left(b^{2}-2ab+a^{2}\right)=2ab, $$ de donde se deduce $$ c^{2}=a^{2}+b^{2}. $$ Así se obtiene el teorema de Pitágoras.

La interpretación mediante grupos de rotaciones resulta todavía más interesante al observar que el caso general conduce al teorema del coseno para un ángulo de 360º/n, y que el teorema de Pitágoras aparece simplemente como el caso particular correspondiente a \(n=4\). Puede encontrarse una explicación detallada de esta construcción en la siguiente página:

► Los bordados de Descartes y el teorema de Pitágoras