Ley del Paralelogramo
Antes de enunciar esta ley vamos a definir los elementos y las diagonales de un n-paralelepípedo.
Elementos de un \(n\)-paralelepípedo
Vértices de un n-paralelepípedo
Veamos cómo se construyen los vértices de un n-paralelepípedo.
Un n-paralelepípedo queda determinado por un conjunto de
vectores linealmente independientes
$$
u_1, u_2, \dots, u_n.
$$
Sus vértices se obtienen tomando todas las traslaciones del origen
mediante combinaciones lineales de estos vectores con coeficientes
iguales a 0 o 1. Es decir, cada vértice tiene la forma
$$
\varepsilon_1 u_1 + \varepsilon_2 u_2 + \cdots + \varepsilon_n u_n,
\qquad \varepsilon_i \in \{0,1\}.
$$
En un n-paralelepípedo hay
$2^n$ vértices.
En dimensión 3 esto produce exactamente \(2^3 = 8\) vértices.
En la siguiente escena interactiva se muestran tres vectores
\(u_1, u_2, u_3\) y el origen. Al pulsar los botones correspondientes
a los elementos de \(\{0,1\}^3\), se construyen uno a uno los vértices
mediante traslaciones visibles del origen.
Cuando se han construido los ocho vértices, aparece automáticamente
el paralelepípedo completo, con sus aristas y caras, poniendo de
manifiesto la estructura geométrica que subyace a esta descripción
combinatoria.
Aristas
Explicamos ahora cómo se construyen las aristas de un
n-paralelepípedo determinado por un conjunto de vectores
linealmente independientes
$$
u_1, u_2, \dots, u_n.
$$
Recordemos que una arista es un segmento paralelo a uno de los vectores
\(u_i\), trasladado mediante una combinación lineal de los restantes
vectores con coeficientes 0 o 1.
Dicho de otro modo, para construir una arista:
- se elige un vector \(u_i\), que determina la dirección del segmento,
- se traslada ese segmento mediante una combinación de los demás vectores.
Esta información puede codificarse mediante una sucesión de símbolos formada
por una letra g (de generador) y ceros y unos.
En dimensión 3, una terna como
$$
(g,0,1)
$$
significa que se toma el segmento determinado por el vector \(u_1\) y se le
aplica la traslación
$$
0\,u_2 + 1\,u_3 = u_3.
$$
El resultado es una arista paralela a \(u_1\), situada en la posición
correspondiente del paralelepípedo.
En un n-paralelepípedo hay
$n\,2^{\,n-1}$ aristas,
es decir,
$\binom{n}{1}\,2^{\,n-1}$.
En la siguiente escena interactiva se muestran los vectores
\(u_1, u_2, u_3\).
Al pulsar los botones, se construyen una a una las aristas del
paralelepípedo mediante traslaciones visibles de los segmentos generadores.
Cada botón contiene exactamente una letra g, que indica
el vector generador del segmento, y dos dígitos que determinan la traslación
aplicada.
Cuando se han construido las doce aristas, aparece automáticamente el
paralelepípedo completo.
Caras
Explicamos ahora cómo se construyen las caras de un
n-paralelepípedo determinado por vectores
$$
u_1, u_2, \dots, u_n.
$$
Una cara se obtiene eligiendo dos vectores generadores
\(u_i, u_j\), que determinan un paralelogramo, y trasladándolo mediante
una combinación lineal de los vectores restantes con coeficientes
0 o 1.
Esta información se codifica mediante sucesiones formadas por los símbolos
g, 0 y 1, con exactamente
dos letras g.
Por ejemplo, en dimensión 3, la terna
$$
(1,g,g)
$$
indica que se toma el paralelogramo determinado por los vectores
\(u_2\) y \(u_3\) y se traslada mediante el vector
$$
1\,u_1.
$$
En un n-paralelepípedo hay
$\binom{n}{2}\,2^{\,n-2}$ caras.
En la siguiente escena interactiva se muestran los vectores
\(u_1, u_2, u_3\).
Al pulsar los botones se construyen una a una las seis caras del
paralelepípedo.
Cuando todas han sido construidas, aparece automáticamente el
paralelepípedo completo.
k-caras
De forma análoga, las caras de dimensión superior se obtienen eligiendo más vectores:
En un n-paralelepípedo hay
$\binom{n}{k}\,2^{\,n-k}$ k-caras.
Total de elementos
Cada elemento geométrico de un n-paralelepípedo puede describirse de forma
unificada mediante una elección independiente para cada vector generador
$$
u_1, u_2, \dots, u_n.
$$
Para cada vector \(u_i\) se decide una de las tres posibilidades siguientes:
- g: el vector \(u_i\) genera la cara (forma parte de su dimensión).
- 1: el vector \(u_i\) traslada la cara (se suma como vector fijo).
- 0: el vector \(u_i\) no interviene.
Por ejemplo, en dimensión \(n=7\), la sucesión
$$
1\,g\,1\,0\,g\,0\,1
$$
indica que la cara viene generada por los vectores \(u_2\) y \(u_5\), y trasladada
por el vector
$$
u_1 + u_3 + u_7.
$$
El objeto geométrico correspondiente es el paralelogramo
$$
\left\{
\begin{aligned}
& a\,u_2 + b\,u_5 + (u_1 + u_3 + u_7) \\
& \big| \; a,b \in [0,1]
\end{aligned}
\right\}
$$
De este modo, el conjunto de todos los elementos geométricos del
n-paralelepípedo se identifica con el conjunto de todas las sucesiones de
longitud \(n\) formadas con los tres símbolos
$$
\{\, g,\, 1,\, 0 \,\}.
$$
Como cada una de las \(n\) posiciones admite tres elecciones independientes,
el número total de objetos geométricos es $3^n$
En un n-paralelepípedo hay
$3^{\,n}$elementos.
Diagonales de un \(n\)-paralelepípedo
Líneas diagonales
Dados \(n\) vectores linealmente independientes
\(u_1, u_2, \dots, u_n\),
las líneas diagonales vienen definidas por las combinaciones lineales de todos ellos
con coeficientes \(+1\) o \(-1\).
Para evitar que aparezcan dos diagonales alineadas o redundantes,
tomaremos únicamente aquellas combinaciones en las que el número de signos \(+\)
es mayor o igual que el número de signos \(-\),
pues el resto forma el conjunto de los vectores opuestos a los escogidos.
De este modo, el número total de diagonales es
$
2^{\,n-1}.
$
Por ejemplo, en un \(5\)-paralelepípedo, la combinación de signos
$$
{+}{-}{+}{+}{-}
$$
se refiere a la diagonal que parte del punto formado por los vectores
con signo negativo,
$$
u_2 + u_5,
$$
y termina en el punto formado por los vectores con signo positivo,
$$
u_1 + u_3 + u_4.
$$
En un n-paralelepípedo hay
$2^{\,n-1}$ líneas diagonales.
En la escena se muestran las líneas diagonales de un paralelepípedo
determinado por tres vectores linealmente independientes.
En un n-paralelepípedo definido por los vectores
u₁, …, uₙ, las
2n−1 diagonales
(las que unen vértices opuestos) se cortan todas en un único punto.
Todas las diagonales se cortan en el punto
½(u₁ + ··· + uₙ),
que es el centro del paralelepípedo.
Este hecho es inmediato al observar que cada diagonal une dos vértices
cuyas coordenadas binarias son complementarias, y que el punto medio
de cualquiera de ellas es siempre el mismo, independientemente de la
diagonal elegida.
Visualización en dimensión 2 y 3
En dimensión 2, las dos diagonales de un paralelogramo se cortan
en su centro, situado en el punto ½(u+v).
En dimensión 3, las cuatro diagonales del paralelepípedo
se cortan en el punto ½(u+v+w).
En el vídeo siguiente se ilustra este hecho de forma explícita
mediante construcciones geométricas dinámicas en dimensiones 2 y 3.
Caras diagonales
Ahora vamos a hacer lo mismo con las áreas diagonales,
o diagonales de dimensión \(2\).
Cada una de ellas está definida por un vector generador
y una línea diagonal formada con los restantes vectores.
Por ejemplo, en un \(8\)-paralelepípedo, la secuencia
$$
-++-+g++
$$
se refiere al paralelogramo con vértice en
$$
u_1 + u_4,
$$
y generado por el vector \(u_6\) y la diagonal
$$
- u_1 + u_2 + u_3 - u_4 + u_5 + u_7 + u_8.
$$
Es decir, el conjunto de puntos viene dado por
$$
u_1 + u_4
\;+\; a\,u_6
$$
$$
\;+\; b\,
\bigl(
-u_1 + u_2 + u_3 - u_4 + u_5 + u_7 + u_8
\bigr),
$$
$$
a,b \in [0,1].
$$
En un n-paralelepípedo hay
$n\,2^{\,n-2}$ aristas,
es decir,
$\binom{n}{1}\,2^{\,n-2}$.
En la escena se muestra la construcción de las diagonales
de dimensión \(2\) de un paralelepípedo.
k-volúmenes diagonales
En general, una diagonal de dimensión \(k\) en un \(n\)-paralelepípedo
se obtiene tomando \(k-1\) vectores generadores
y una diagonal formada con los restantes;
con ellos se genera el elemento diagonal correspondiente.
Por ejemplo, una \(3\)-diagonal en un \(8\)-paralelepípedo viene dada
por la secuencia
$$
g++-g-++
$$
y es el conjunto de puntos
$$
u_4 + u_6
\;+\; a\,u_1
\;+\; b\,u_5
$$
$$
\;+\; c\,
\bigl(
u_2 + u_3 - u_4 - u_6 + u_7 + u_8
\bigr),
$$
$$
a,b,c \in [0,1].
$$
En un n-paralelepípedo hay
$\binom{n}{k-1}\,2^{\,n-k}$ k-volúmenes diagonales.
Generalización del área del paralelogramo en función del área del que determinan sus diagonales
Es bien conocido que el área de un cuadrilátero cualquiera es igual a la mitad
del área del paralelogramo determinado por sus diagonales.
Equivalentemente, si un paralelogramo está determinado por los vectores
$\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$, entonces el paralelogramo generado por sus
diagonales $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ y $\mathbf{u}-\mathbf{v}$ tiene el doble
de área.
Este hecho admite una generalización natural en cualquier dimensión.
Generalización al volumen en dimensión \( n \)
Sea un $n$-paralelepípedo determinado por los vectores
$\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$.
Entonces, el $n$-volumen del paralelepípedo es igual al $n$-volumen del
$n$-paralelepípedo determinado por un conjunto de $n$ de sus diagonales,
dividido por $2^{\,n-1}$.
$$
\operatorname{V}_n(\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_n)
=
\frac{1}{2^{\,n-1}}
\operatorname{V}_n(\text{diagonales})
$$
Demostración en el caso del \( 3 \)-paralelepípedo
Consideremos un paralelepípedo determinado por los vectores
$\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3$.
Tomemos las tres diagonales:
$$
\begin{aligned}
\mathbf{d}_1 &= \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3, \\[4pt]
\mathbf{d}_2 &= -\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3, \\[4pt]
\mathbf{d}_3 &= \mathbf{u}_1-\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3.
\end{aligned}
$$
El volumen del paralelepípedo determinado por estas diagonales viene dado por:
$$
\left|
\begin{array}{c}
\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3 \\[4pt]
-\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3 \\[4pt]
\mathbf{u}_1-\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3
\end{array}
\right|.
$$
Mediante combinaciones lineales de columnas (que no alteran el valor absoluto
del determinante), este determinante se transforma en:
$$
\left|
\det\!\left(
\begin{array}{ccc}
\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3 &
-2\mathbf{u}_1 &
-2\mathbf{u}_2
\end{array}
\right)
\right|.
$$
Extrayendo factores comunes:
$$
=
2^2
\left|
\det\!\left(
\mathbf{u}_3,\,
\mathbf{u}_1,\,
\mathbf{u}_2
\right)
\right|.
$$
Como el valor absoluto del determinante es invariante bajo permutaciones de
columnas, se obtiene:
$$
\operatorname{V}(\text{diagonales})
=
2^2\,
\operatorname{V}(\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3).
$$
Por tanto:
$$
\operatorname{V}(\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3)
=
\frac{1}{2^2}\,
\operatorname{V}(\text{diagonales}).
$$
Extensión al caso general
El razonamiento anterior se extiende de forma inmediata a cualquier dimensión
$n$ y a cualquier conjunto de $n$ diagonales linealmente independientes
del $n$-paralelepípedo.
El $n$-volumen del n-paralelepípedo determinado por n de sus líneas diagonales es siempre $2^{\,n-1}$ veces el del n-paralelepípedo original.
Ley del paralelogramo: longitudes
La suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales
de un n-paralelepípedo es igual a la suma de los cuadrados
de las longitudes de todas sus aristas.
Generalización del teorema de Pitágoras
Vértices de un n-paralelepípedo
Veamos cómo se construyen los vértices de un n-paralelepípedo.
Un n-paralelepípedo queda determinado por un conjunto de vectores linealmente independientes
$$ u_1, u_2, \dots, u_n. $$Sus vértices se obtienen tomando todas las traslaciones del origen mediante combinaciones lineales de estos vectores con coeficientes iguales a 0 o 1. Es decir, cada vértice tiene la forma
$$ \varepsilon_1 u_1 + \varepsilon_2 u_2 + \cdots + \varepsilon_n u_n, \qquad \varepsilon_i \in \{0,1\}. $$En un n-paralelepípedo hay $2^n$ vértices.
En dimensión 3 esto produce exactamente \(2^3 = 8\) vértices.
En la siguiente escena interactiva se muestran tres vectores \(u_1, u_2, u_3\) y el origen. Al pulsar los botones correspondientes a los elementos de \(\{0,1\}^3\), se construyen uno a uno los vértices mediante traslaciones visibles del origen.
Cuando se han construido los ocho vértices, aparece automáticamente el paralelepípedo completo, con sus aristas y caras, poniendo de manifiesto la estructura geométrica que subyace a esta descripción combinatoria.
Aristas
Explicamos ahora cómo se construyen las aristas de un n-paralelepípedo determinado por un conjunto de vectores linealmente independientes
$$ u_1, u_2, \dots, u_n. $$Recordemos que una arista es un segmento paralelo a uno de los vectores \(u_i\), trasladado mediante una combinación lineal de los restantes vectores con coeficientes 0 o 1.
Dicho de otro modo, para construir una arista:
- se elige un vector \(u_i\), que determina la dirección del segmento,
- se traslada ese segmento mediante una combinación de los demás vectores.
Esta información puede codificarse mediante una sucesión de símbolos formada por una letra g (de generador) y ceros y unos.
En dimensión 3, una terna como
$$ (g,0,1) $$significa que se toma el segmento determinado por el vector \(u_1\) y se le aplica la traslación
$$ 0\,u_2 + 1\,u_3 = u_3. $$El resultado es una arista paralela a \(u_1\), situada en la posición correspondiente del paralelepípedo.
En un n-paralelepípedo hay $n\,2^{\,n-1}$ aristas, es decir, $\binom{n}{1}\,2^{\,n-1}$.
En la siguiente escena interactiva se muestran los vectores \(u_1, u_2, u_3\). Al pulsar los botones, se construyen una a una las aristas del paralelepípedo mediante traslaciones visibles de los segmentos generadores.
Cada botón contiene exactamente una letra g, que indica el vector generador del segmento, y dos dígitos que determinan la traslación aplicada.
Cuando se han construido las doce aristas, aparece automáticamente el paralelepípedo completo.
Caras
Explicamos ahora cómo se construyen las caras de un n-paralelepípedo determinado por vectores
$$ u_1, u_2, \dots, u_n. $$Una cara se obtiene eligiendo dos vectores generadores \(u_i, u_j\), que determinan un paralelogramo, y trasladándolo mediante una combinación lineal de los vectores restantes con coeficientes 0 o 1.
Esta información se codifica mediante sucesiones formadas por los símbolos g, 0 y 1, con exactamente dos letras g.
Por ejemplo, en dimensión 3, la terna
$$ (1,g,g) $$indica que se toma el paralelogramo determinado por los vectores \(u_2\) y \(u_3\) y se traslada mediante el vector
$$ 1\,u_1. $$En un n-paralelepípedo hay $\binom{n}{2}\,2^{\,n-2}$ caras.
En la siguiente escena interactiva se muestran los vectores \(u_1, u_2, u_3\). Al pulsar los botones se construyen una a una las seis caras del paralelepípedo. Cuando todas han sido construidas, aparece automáticamente el paralelepípedo completo.
k-caras
De forma análoga, las caras de dimensión superior se obtienen eligiendo más vectores:
En un n-paralelepípedo hay $\binom{n}{k}\,2^{\,n-k}$ k-caras.
Total de elementos
Cada elemento geométrico de un n-paralelepípedo puede describirse de forma unificada mediante una elección independiente para cada vector generador
$$ u_1, u_2, \dots, u_n. $$Para cada vector \(u_i\) se decide una de las tres posibilidades siguientes:
- g: el vector \(u_i\) genera la cara (forma parte de su dimensión).
- 1: el vector \(u_i\) traslada la cara (se suma como vector fijo).
- 0: el vector \(u_i\) no interviene.
Por ejemplo, en dimensión \(n=7\), la sucesión
$$ 1\,g\,1\,0\,g\,0\,1 $$indica que la cara viene generada por los vectores \(u_2\) y \(u_5\), y trasladada por el vector
$$ u_1 + u_3 + u_7. $$El objeto geométrico correspondiente es el paralelogramo
$$ \left\{ \begin{aligned} & a\,u_2 + b\,u_5 + (u_1 + u_3 + u_7) \\ & \big| \; a,b \in [0,1] \end{aligned} \right\} $$De este modo, el conjunto de todos los elementos geométricos del n-paralelepípedo se identifica con el conjunto de todas las sucesiones de longitud \(n\) formadas con los tres símbolos
$$ \{\, g,\, 1,\, 0 \,\}. $$Como cada una de las \(n\) posiciones admite tres elecciones independientes, el número total de objetos geométricos es $3^n$
En un n-paralelepípedo hay $3^{\,n}$elementos.
Líneas diagonales
Dados \(n\) vectores linealmente independientes \(u_1, u_2, \dots, u_n\), las líneas diagonales vienen definidas por las combinaciones lineales de todos ellos con coeficientes \(+1\) o \(-1\).
Para evitar que aparezcan dos diagonales alineadas o redundantes, tomaremos únicamente aquellas combinaciones en las que el número de signos \(+\) es mayor o igual que el número de signos \(-\), pues el resto forma el conjunto de los vectores opuestos a los escogidos.
De este modo, el número total de diagonales es $ 2^{\,n-1}. $
Por ejemplo, en un \(5\)-paralelepípedo, la combinación de signos
$$ {+}{-}{+}{+}{-} $$se refiere a la diagonal que parte del punto formado por los vectores con signo negativo,
$$ u_2 + u_5, $$y termina en el punto formado por los vectores con signo positivo,
$$ u_1 + u_3 + u_4. $$En un n-paralelepípedo hay $2^{\,n-1}$ líneas diagonales.
En la escena se muestran las líneas diagonales de un paralelepípedo determinado por tres vectores linealmente independientes.
En un n-paralelepípedo definido por los vectores u₁, …, uₙ, las 2n−1 diagonales (las que unen vértices opuestos) se cortan todas en un único punto.
Todas las diagonales se cortan en el punto ½(u₁ + ··· + uₙ), que es el centro del paralelepípedo.
Este hecho es inmediato al observar que cada diagonal une dos vértices cuyas coordenadas binarias son complementarias, y que el punto medio de cualquiera de ellas es siempre el mismo, independientemente de la diagonal elegida.
Visualización en dimensión 2 y 3
En dimensión 2, las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su centro, situado en el punto ½(u+v).
En dimensión 3, las cuatro diagonales del paralelepípedo se cortan en el punto ½(u+v+w).
En el vídeo siguiente se ilustra este hecho de forma explícita mediante construcciones geométricas dinámicas en dimensiones 2 y 3.
Caras diagonales
Ahora vamos a hacer lo mismo con las áreas diagonales, o diagonales de dimensión \(2\). Cada una de ellas está definida por un vector generador y una línea diagonal formada con los restantes vectores.
Por ejemplo, en un \(8\)-paralelepípedo, la secuencia
$$ -++-+g++ $$se refiere al paralelogramo con vértice en
$$ u_1 + u_4, $$y generado por el vector \(u_6\) y la diagonal
$$ - u_1 + u_2 + u_3 - u_4 + u_5 + u_7 + u_8. $$Es decir, el conjunto de puntos viene dado por
$$ u_1 + u_4 \;+\; a\,u_6 $$ $$ \;+\; b\, \bigl( -u_1 + u_2 + u_3 - u_4 + u_5 + u_7 + u_8 \bigr), $$ $$ a,b \in [0,1]. $$En un n-paralelepípedo hay $n\,2^{\,n-2}$ aristas, es decir, $\binom{n}{1}\,2^{\,n-2}$.
En la escena se muestra la construcción de las diagonales de dimensión \(2\) de un paralelepípedo.
k-volúmenes diagonales
En general, una diagonal de dimensión \(k\) en un \(n\)-paralelepípedo se obtiene tomando \(k-1\) vectores generadores y una diagonal formada con los restantes; con ellos se genera el elemento diagonal correspondiente.
Por ejemplo, una \(3\)-diagonal en un \(8\)-paralelepípedo viene dada por la secuencia
$$ g++-g-++ $$y es el conjunto de puntos
$$ u_4 + u_6 \;+\; a\,u_1 \;+\; b\,u_5 $$ $$ \;+\; c\, \bigl( u_2 + u_3 - u_4 - u_6 + u_7 + u_8 \bigr), $$ $$ a,b,c \in [0,1]. $$En un n-paralelepípedo hay $\binom{n}{k-1}\,2^{\,n-k}$ k-volúmenes diagonales.
Generalización del área del paralelogramo en función del área del que determinan sus diagonales
Es bien conocido que el área de un cuadrilátero cualquiera es igual a la mitad del área del paralelogramo determinado por sus diagonales.
Equivalentemente, si un paralelogramo está determinado por los vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$, entonces el paralelogramo generado por sus diagonales $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ y $\mathbf{u}-\mathbf{v}$ tiene el doble de área.
Este hecho admite una generalización natural en cualquier dimensión.
Generalización al volumen en dimensión \( n \)
Sea un $n$-paralelepípedo determinado por los vectores $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_n$.
Entonces, el $n$-volumen del paralelepípedo es igual al $n$-volumen del $n$-paralelepípedo determinado por un conjunto de $n$ de sus diagonales, dividido por $2^{\,n-1}$.
$$ \operatorname{V}_n(\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_n) = \frac{1}{2^{\,n-1}} \operatorname{V}_n(\text{diagonales}) $$Demostración en el caso del \( 3 \)-paralelepípedo
Consideremos un paralelepípedo determinado por los vectores $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3$.
Tomemos las tres diagonales:
$$ \begin{aligned} \mathbf{d}_1 &= \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3, \\[4pt] \mathbf{d}_2 &= -\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3, \\[4pt] \mathbf{d}_3 &= \mathbf{u}_1-\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3. \end{aligned} $$El volumen del paralelepípedo determinado por estas diagonales viene dado por:
$$ \left| \begin{array}{c} \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3 \\[4pt] -\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3 \\[4pt] \mathbf{u}_1-\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3 \end{array} \right|. $$Mediante combinaciones lineales de columnas (que no alteran el valor absoluto del determinante), este determinante se transforma en:
$$ \left| \det\!\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3 & -2\mathbf{u}_1 & -2\mathbf{u}_2 \end{array} \right) \right|. $$Extrayendo factores comunes:
$$ = 2^2 \left| \det\!\left( \mathbf{u}_3,\, \mathbf{u}_1,\, \mathbf{u}_2 \right) \right|. $$Como el valor absoluto del determinante es invariante bajo permutaciones de columnas, se obtiene:
$$ \operatorname{V}(\text{diagonales}) = 2^2\, \operatorname{V}(\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3). $$Por tanto:
$$ \operatorname{V}(\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3) = \frac{1}{2^2}\, \operatorname{V}(\text{diagonales}). $$Extensión al caso general
El razonamiento anterior se extiende de forma inmediata a cualquier dimensión $n$ y a cualquier conjunto de $n$ diagonales linealmente independientes del $n$-paralelepípedo.
El $n$-volumen del n-paralelepípedo determinado por n de sus líneas diagonales es siempre $2^{\,n-1}$ veces el del n-paralelepípedo original.
Ley del paralelogramo: longitudes
La suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales de un n-paralelepípedo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de todas sus aristas.
Generalización del teorema de Pitágoras
La ley del paralelogramo puede verse como una extensión natural del teorema de Pitágoras a situaciones donde los vectores no son necesariamente ortogonales.
Cuando el paralelepípedo es rectangular, es decir, cuando todas sus aristas forman ángulos rectos, la identidad se reduce exactamente al teorema de Pitágoras clásico.
En dimensión dos aparece como la igualdad ‖u+v‖² + ‖u−v‖² = 2‖u‖² + 2‖v‖², y en dimensión tres relaciona los cuadrados de las cuatro diagonales espaciales con los de las doce aristas.
Ley del paralelogramo: áreas
En este apartado se muestra cómo esta ley se extiende de manera natural a áreas
Áreas en un 4-paralelepípedo
Sea un 4-paralelepípedo determinado por los vectores $$ u_1, u_2, u_3, u_4. $$ Trabajaremos con áreas, es decir, con productos exteriores de grado 2.
Caras
Las caras son los paralelogramos determinados por pares de vectores $u_i,u_j$. Por ejemplo, la cara asociada al par $(u_1,u_2)$ es el paralelogramo generado por $u_1$ y $u_2$.
Además, aparecen todas sus traslaciones paralelas a lo largo de las direcciones restantes $u_3,u_4$, dadas por $$ \begin{aligned} u_1 + v,\quad u_2 + v,\\[4pt] v = a\,u_3 + b\,u_4,\quad (a,b)\in\{0,1\}^2. \end{aligned} $$
Por tanto, a cada par $(u_i,u_j)$ le corresponden exactamente $2^{4-2}=4$ caras paralelas, todas con la misma área $\|u_i\wedge u_j\|$.
La suma de los cuadrados de las áreas de todas las caras es
Paralelogramos diagonales
Las áreas diagonales se obtienen fijando un vector y combinándolo con sumas y restas de los restantes.
En dimensión 4 hay cuatro diagonales asociadas a $u_1$, dadas por
Al elevar al cuadrado y sumar, los términos cruzados se cancelan y se obtiene
Repitiendo el razonamiento para $u_2,u_3$ y $u_4$ y sumando todos los términos se obtiene
Conclusión en dimensión 4
Ley del paralelogramo: volúmenes
Sea ahora un 5-paralelepípedo determinado por $$ u_1,u_2,u_3,u_4,u_5. $$ Trabajaremos con productos exteriores de grado 3, que representan volúmenes.
Volúmenes cara
Los volúmenes básicos están determinados por ternas, por ejemplo $(u_1,u_2,u_3)$, y sus traslaciones paralelas
Cada terna genera $2^{5-3}=4$ volúmenes iguales.
Volúmenes diagonales
Los volúmenes diagonales se obtienen fijando un par $(u_i,u_j)$ y combinando los restantes con signos $\pm1$.
Por ejemplo, las diagonales asociadas al par $(u_1,u_2)$ son
Su suma vale
Sumando sobre todos los pares $(u_i,u_j)$ se obtiene finalmente
RESUMEN
$$ \sum_{\text{diag}} \ell^2 \;=\; \sum_{\text{aristas}} \ell^2 $$ $$ \sum_{\text{diag}} A^2 \;=\; 2 \sum_{\text{caras}} A^2 $$ $$ \sum_{\text{diag}} V^2 \;=\; 3 \sum_{\text{3-caras}} V^2 $$Estas identidades muestran que la ley del paralelogramo no es un fenómeno aislado, sino una manifestación general de una estructura pitagórica profunda, válida para longitudes, áreas, volúmenes y, en general, para $k$-volúmenes en dimensión arbitraria.
Medias cuadráticas de k-diagonales y k-caras
Consideramos un n-paralelepípedo y comparamos:
- la media de los elementos de volumen al cuadrado de las k-diagonales,
- la media de los elementos de volumen al cuadrado de las k-caras.
Número de elementos
El número de k-diagonales en un n-paralelepípedo es:
$$ \#(\text{k-diagonales}) \;=\; 2^{\,n-k}\,\binom{n}{k-1}. $$El número de k-caras es:
$$ \#(\text{k-caras}) \;=\; 2^{\,n-k}\,\binom{n}{k}. $$Cociente de medias
La media de los elementos de volumen al cuadrado se obtiene dividiendo la suma total entre el número de elementos correspondientes. Por tanto, el cociente entre la media de las k-diagonales y la media de las k-caras es:
$$ \frac{ \displaystyle \frac{1}{2^{\,n-k}\binom{n}{k-1}} \sum (\text{k-Vol}_{\text{diag}})^2 }{ \displaystyle \frac{1}{2^{\,n-k}\binom{n}{k}} \sum (\text{k-Vol}_{\text{cara}})^2 }. $$Aplicando la identidad expuesta al comienzo de la página,
$$ \sum (\text{k-Vol}_{\text{diag}})^2 \;=\; k \sum (\text{k-Vol}_{\text{cara}})^2, $$se obtiene:
$$ \frac{ \text{media}\big((\text{k-Vol}_{\text{diag}})^2\big) }{ \text{media}\big((\text{k-Vol}_{\text{cara}})^2\big) } \;=\; n-k+1. $$Este resultado coincide con el Teorema 1.2 del artículo de Oller-Marcén
Notas históricas sobre la ley del paralelogramo y su generalización
1. Origen clásico: longitudes en el plano
La ley del paralelogramo aparece implícitamente en la geometría griega clásica como una consecuencia del teorema de Pitágoras. En los Elementos de Euclides (siglo III a. C.), especialmente en el Libro II, se encuentran proposiciones que hoy reinterpretamos como identidades algebraico-geométricas equivalentes a
$$ \|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 = 2\bigl(\|u\|^2 + \|v\|^2\bigr). $$
aunque sin lenguaje vectorial ni notación moderna.
En esta etapa:
- la ley es bidimensional,
- se interpreta en términos de segmentos y paralelogramos,
- y está ligada exclusivamente a la noción de longitud.
2. Formulación algebraica moderna (siglos XVIII–XIX)
La formulación moderna de la ley del paralelogramo surge con:
- el desarrollo del álgebra vectorial,
- la introducción sistemática del producto escalar,
- y la identificación de la longitud como una magnitud cuadrática.
Durante el siglo XIX, matemáticos como Lagrange, Cauchy y Grassmann establecen que la identidad del paralelogramo no es una curiosidad geométrica, sino una consecuencia estructural del producto escalar.
Un hito clave es el resultado de Jordan–von Neumann (1935):
Una norma satisface la ley del paralelogramo
si y solo si procede de un producto escalar.
Esto consolida la ley como el criterio distintivo de la geometría euclídea frente a otras geometrías normadas.
3. Primeras extensiones a áreas y volúmenes
La generalización de la ley del paralelogramo a áreas y volúmenes aparece de forma natural cuando se empiezan a medir magnitudes geométricas mediante determinantes.
Ya en el siglo XIX:
- el área de un paralelogramo se expresa como
|det(u,v)|, - el volumen de un paralelepípedo como
|det(u₁,u₂,u₃)|, - y, en general, el \(k\)-volumen como la raíz del determinante de la matriz de Gram.
Las magnitudes geométricas euclídeas son magnitudes cuadráticas en los vectores.
Esto abre la puerta a identidades que relacionan sumas de cuadrados de áreas, volúmenes y \(k\)-volúmenes.
4. Generalización estructural: Grassmann y los productos exteriores
La generalización conceptual profunda se debe a Hermann Grassmann (Ausdehnungslehre, 1844).
Grassmann introduce:
- el producto exterior,
- los \(k\)-vectores,
- y la interpretación del \(k\)-volumen como la norma de un elemento de \(\bigwedge^k \mathbb{R}^n\).
En este marco:
- las \(k\)-caras de un paralelepípedo corresponden a \(k\)-vectores básicos,
- las \(k\)-diagonales corresponden a combinaciones lineales de estos,
- y la ley del paralelogramo se convierte en una identidad cuadrática en el espacio exterior.
Aunque Grassmann no escribe la fórmula exactamente como se presenta aquí, su formalismo la contiene implícitamente.
5. Formulación completa en términos de matrices de Gram
La expresión moderna y plenamente general
$$ \sum_{\text{\(k\)-diagonales}} W_k^2 = (n-k+1) \sum_{\text{\(k\)-caras}} W_k^2 $$
se entiende hoy como una consecuencia directa de:
- la fórmula de Cauchy–Binet,
- las propiedades del determinante,
- y la estructura del producto escalar en \(\mathbb{R}^n\).
Nota: ponemos W porque en la izquieda de toma cada diagonal al cualdrado con su peso, es decir dividida por el número de diagonales, y el la izquierda cada cara al cuadrado con su peso.
Esta formulación cristaliza en el siglo XX dentro de la geometría multilineal, la teoría de formas cuadráticas y la geometría exterior moderna. No suele atribuirse a un único autor concreto.
6. Lectura histórica global
- Euclides: identidad geométrica de longitudes.
- Siglo XIX: formulación algebraica mediante el producto escalar.
- Grassmann: extensión conceptual a \(k\)-volúmenes.
- Siglo XX: formulación general en \(\mathbb{R}^n\) mediante Gram y Cauchy–Binet.
7. Idea central
La extensión presentada no es una analogía ni una casualidad: es la manifestación general de que todas las magnitudes euclídeas son cuadráticas y obedecen identidades de tipo paralelogramo en cada grado dimensional.
Referencias
Textos clásicos
-
Euclides,
Elementos, Libro II (siglo III a. C.).
Proposiciones geométricas que hoy se reinterpretan como identidades algebraico-geométricas precursoras de la ley del paralelogramo.
Project Gutenberg (PDF) -
Hermann Grassmann (1844),
Die lineale Ausdehnungslehre.
Obra fundacional del álgebra exterior: introduce el producto exterior, los \(k\)-vectores y la interpretación de los \(k\)-volúmenes como magnitudes cuadráticas en dimensión arbitraria.
Internet Archive (PDF)
Resultados fundamentales del siglo XX
-
P. Jordan & J. von Neumann (1935),
On Inner Products in Linear, Metric Spaces, Annals of Mathematics 36(3), 719–723.
Artículo que caracteriza las normas que satisfacen la ley del paralelogramo como aquellas inducidas por un producto escalar. Archivo pdf
Formulación algebraica moderna
-
Fórmula de Cauchy–Binet.
Base algebraica de las identidades que relacionan determinantes de Gram con sumas de cuadrados de áreas, volúmenes y \(k\)-volúmenes.
Wikipedia (entrada técnica) -
Álgebra exterior.
Presentación moderna del formalismo introducido por Grassmann, con interpretación geométrica de los \(k\)-vectores.
Wolfram MathWorld