Con estas particiones parece visualmente que se puede aproximar el área de la pirámide, pero no ¿Cuál es el cuidado que hay que tener al hacer una partición?

Aproximar una pirámide mediante prismas

Consideramos una pirámide cuadrada de altura h. La sección a distancia x del vértice es semejante a la base, por lo que sus longitudes son proporcionales a x y sus áreas a x².

A(x) = A(h) · x² / h²
Un prisma de base A(x) y altura Δx tiene volumen A(x)·Δx.

1. Una franja de la pirámide

x4.00

Δx1.00

El prisma azul ocupa la franja desde x hasta x+Δx. Su base se toma en x.

V_P(x) = A(x)·Δx = A(h) · (x²/h²) · Δx

Al hacer Δx cada vez menor, la diferencia entre el volumen de la franja de pirámide y el del prisma se hace cada vez menor.

2. Todos los prismas

n (número de divisiones)8

Aquí Δx = h/n. Aparecen los prismas correspondientes a

h/n 2h/n 3h/n … nh/n = h

V_aprox = Σ_i=1ⁿ A(i·h/n) · h/n

Son prismas de altura h/n cuyas bases corresponden a las secciones de la pirámide en los puntos h/n, 2h/n, …, h.

3. ¿Por qué la suma de los volúmenes se aproxima al de la pirámide?

Sea V_f el volumen de una franja de pirámide entre x y x+Δx, y sea V_Pf el volumen del prisma construido en esa franja.

Como el área de la sección aumenta con x, el prisma construido en el extremo izquierdo tiene un volumen menor que la franja y el construido en el extremo derecho tiene un volumen mayor:

A(x)·Δx ≤ V_f ≤ A(x+Δx)·Δx

Esta desigualdad es la que permite hacer la aproximación. Ambos prismas tienen un volumen que tiende a cero cuando Δx → 0 y, al dividir la altura en cada vez más partes, la suma de las diferencias entre las franjas de la pirámide y los prismas también tiende a cero.

lim_Δx→0 Σ V_Pf = Σ V_f = V_pirámide

Y como

A(x)=A(h)·x²/h²,

obtenemos:

V = ∫₀^h A(h)·x²/h² dx = A(h)/h² · h³/3 = A(h)h/3.

4. Para el área lateral la misma desigualdad no funciona

Observando los interactivos podríamos concluir, a primera vista, que el área lateral también se aproxima de la misma manera que el volumen, llegando visualmente a pensar que su valor sería 1/2 · P(h)· h. La figura parece indicar que los prismas laterales van rellenando cada vez mejor la superficie de la pirámide.

⚠️ Pero aquí la apariencia visual puede engañarnos: que los prismas parezcan aproximar cada vez mejor el área lateral no demuestra que la suma de sus áreas tienda al área de la pirámide. Hay que comprobar las desigualdades que justifican la aproximación.

Consideremos ahora el área A_f de una franja lateral, comprendida entre las secciones x_i-1 y x_i. Es un trapecio cuyas bases tienen longitudes relacionadas con los perímetros consecutivos.

Podríamos intentar escribir, por analogía con el volumen:

P(x_i-1)·Δx < A_f < P(x_i)·Δx.

La primera desigualdad sí es cierta, porque los dos factores son menores que los correspondientes factores del área del trapecio:

P(x_i-1) < [P(x_i-1)+P(x_i)]/2
Δx < Δs.

Pero la segunda desigualdad falla. Es verdad que

P(x_i) > [P(x_i-1)+P(x_i)]/2,

pero Δx es menor que la altura Δs del trapecio. Tenemos, por tanto, un factor mayor y otro menor que los correspondientes factores del área del trapecio, y no podemos concluir que

A_f < P(x_i)·Δx.

Este es el detalle geométrico que obliga a cambiar la variable cuando queremos calcular el área lateral mediante una integral.

x4.00

Δx1.00

Verde: Δx. Azul: Δs, la altura plana 2D del trapecio naranja.

A_f = [P(x_i-1)+P(x_i)]/2 · Δs.

5. Cambiamos la variable y tomamos x sobre la altura lateral

Para poder aplicar la integral al área lateral, tomamos como eje de la variable x la recta que une el vértice de la pirámide con el punto medio de la base mayor del trapecio naranja.

Ese eje está contenido en la cara triangular de la pirámide. Por tanto, ahora los incrementos de la variable son precisamente los incrementos de la altura plana del trapecio:

Δx = Δs.

Así sí funciona la desigualdad:

P(x_i-1)·Δx < A_f < P(x_i)·Δx

⚠️ Una precaución importante al integrar:
Muchas veces, al hacer aproximaciones mediante rectángulos o prismas, no se comprueban realmente estas desigualdades y nos dejamos engañar por la apariencia visual de la figura. Que una figura parezca quedar entre dos aproximaciones no basta: hay que demostrar las desigualdades que permiten pasar al límite y justificar la integral.

Ahora sí podemos escribir:

A_L = ∫₀^h_l P(x) dx.

Como las secciones son semejantes, los perímetros son proporcionales a la distancia recorrida sobre la altura lateral:

P(x) = P(h_l)·x/h_l.

Por tanto:

A_L = ∫₀^h_l P(h_l)·x/h_l dx = P(h_l)h_l/2.

Concluimos que el área lateral de la pirámide es la mitad del área lateral del prisma que tiene la misma base y cuya altura es la altura lateral h_l de la pirámide:

A_L,pirámide = ½ · P(base) · h_l

Importante: la altura lateral h_l no es la altura h de la pirámide. Es la altura de una de sus caras triangulares.