En la Alhambra de Granada se pueden encontrar una gran cantidad de mosaicos extraordinarios.
La pajarita nazarí es uno de los mosaicos más conocidos y más utilizados en la Alhambra. Se obtiene a partir del recubrimiento del plano con triángulos equiláteros.
Estas dos páginas anteriores pueden ser usadas conjuntamente, se elige con la última un mosaico que nos guste,
y al hacer clic o pulsar manteniendo el cuadro rojo se puede guardar esa imagen y cargarla
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Matrices módulo 2 y simetrías
Con javascript. Operaciones con matrices (módulo 2)
Los códigos QR son matrices en módulo 2 que mantienen su estructura y pueden ser interpretados correctamente incluso si se aplican transformaciones simétricas. Si introduces la matriz de un QR en cualquiera de los enlaces anteriores, notarás que el código sigue siendo legible en cualquier orientación.
La imagen muestra distintas simetrías del QR original y demuestra que al escanear su versión MVH (es decir, aplicando un volteo vertical y otro horizontal), el código aún puede ser leído correctamente. Esto confirma que un QR es legible en cualquier posición, sin importar si ha sido rotado, reflejado o volteado.
Detección de Errores en Transmisión de Datos (Código de Hamming 7,4)
📌 Contexto
Imagina que queremos enviar 4 bits de información a través de una red, pero sabemos que pueden ocurrir errores durante la transmisión. Para proteger la información, usamos un código de detección de errores basado en matrices módulo 2.
Paso 1: Matriz Generadora \( G \)
Para enviar un mensaje de 4 bits \( (m_1, m_2, m_3, m_4) \), lo transformamos en 7 bits de código agregando 3 bits de paridad. Usamos la matriz generadora \( G \):
Cada posible síndrome \( s \) está asociado a una columna de la matriz \( H \). Comparando con las columnas de \( H \), vemos que la columna 2 es exactamente \( [1, 0, 1] \), lo que indica que el bit 2 fue alterado.
Paso 5: Corrección del Error
Ahora corregimos el error invirtiendo el bit en la posición 2 del mensaje recibido:
Corrección de errores en telecomunicaciones y almacenamiento de datos (WiFi, discos duros, memorias USB).
Usado en códigos de Hamming, códigos Reed-Solomon y códigos LDPC, que protegen datos en CD, DVD y redes.
Las operaciones en \( \mathbb{F}_2 \) (módulo 2) permiten cálculos rápidos y eficientes en hardware digital.
¡Este es un ejemplo real y práctico donde las matrices módulo 2 tienen una aplicación crucial!
Criptografía con Matrices Módulo 2: McEliece Cryptosystem 🔐
📌 Contexto
La criptografía moderna necesita sistemas seguros frente a ataques cuánticos. El sistema de McEliece es un criptosistema de clave pública basado en códigos de corrección de errores y usa matrices módulo 2 para cifrar y descifrar mensajes.
✅ Ventaja: Es resistente a ataques cuánticos, a diferencia de RSA o ECC.
✅ Desventaja: Las claves públicas son muy grandes.
🔹 Paso 1: Generación de Claves
El sistema usa códigos lineales binarios para generar una clave pública y privada.
Elegimos un código de corrección de errores:
Se toma un código Goppa binario con matriz generadora \( G \) de tamaño \( k \times n \) sobre \( \mathbb{F}_2 \).
\( G \) es una matriz binaria aleatoria, pero con ciertas propiedades algebraicas.
Se oculta la estructura de \( G \) con transformaciones:
\( S \): Matriz invertible \( k \times k \) (secreta).
\( P \): Matriz de permutación \( n \times n \) (secreta).
\( G' = S \cdot G \cdot P \)
🔑 Clave pública: \( G' \)
🔑 Clave privada: \( G, S, P \)
🔹 Paso 2: Cifrado
Para cifrar un mensaje \( m \) (de longitud \( k \)), se hace:
Se multiplica \( m \) por la clave pública \( G' \):
\( c = m \cdot G' \)
Se introduce un ruido aleatorio \( e \) (de peso bajo):
\( c = m \cdot G' + e \)
🔹 Paso 3: Descifrado
Para recuperar \( m \), se usa la clave privada \( (S, P, G) \):
Invertimos la permutación:
\( c' = c \cdot P^{-1} \)
Decodificamos \( c' \) usando \( G \) (decodificador de código de Goppa).
Esto corrige el ruido \( e \) y recupera \( m' \).
Deshacemos la transformación \( S \) para recuperar \( m \):
\( m = m' \cdot S^{-1} \)
🚀 Conclusión
El sistema de McEliece usa matrices módulo 2 para generar claves y cifrar mensajes con códigos de corrección de errores. Su seguridad se basa en la dificultad de decodificar códigos lineales sin información adicional. Es uno de los candidatos para criptografía segura en la era cuántica.
Volvemos a los mosaicos
Después de este paréntesis provocado por las matrices con unos y ceros tan relacionadas con los QR
volvemos a los trabajos desarrollados para representar mosaicos
