Iteración de Vogeler
Para calcular ternas pitagóricas
El objetivo es calcular ternas pitagóricas, que equivale a encontrar puntos en la circunferencia unidad de centro \((0, 0)\) con sus dos coordenadas racionales y diferentes de 0.
En el primer paso, se toma el punto \((-1, 0)\), y al unirlo con el punto \((1, 1)\), se obtiene el punto \((4/5, 3/5)\), el cual define una terna pitagórica.
En el segundo paso, partimos de \((-4/5, 3/5)\), obteniendo una nueva terna. Además, tomamos los puntos \((-4/5, -3/5)\) y \((4/5, -3/5)\), logrando así tres ternas pitagóricas.
La clave está en que al unir un punto Q de la circunferencia unidad (centro en el origen) con el punto P(1, 1), entonces el otro punto de la recta PQ y la circunferencia es el simétrico de Q respecto a la recta perpendicular a PQ que pasa por (0, 0).
La fórmula para calcular el punto simétrico nos muestra que este punto simétrico tiene coordenadas racionales:
\[ \text{Punto simétrico} = Q \pm 2 \frac{\begin{vmatrix} Q - (0, 0) \\ d \end{vmatrix}}{|d|} \cdot \frac{\eta}{|\eta|} \]
Donde d es el director de la recta perpendicular a QP que pasa por (0, 0), el eje de simetría:
- \(\mathbf{Q} = (c, s)\) y \(\mathbf{P} = (1, 1)\)
- \(\mathbf{\eta} = Q - P = (c, s) - (1, 1) = (c-1, s-1)\)
- \(\mathbf{d} = (1-s, c-1)\)
El denominador es racional porque \(\mathbf{d}\) y \(\mathbf{\eta}\) tienen módulos iguales, lo que da como resultado:
\[ \lvert \mathbf{d} \rvert \cdot \lvert \mathbf{\eta} \rvert = (c-1)^2 + (s-1)^2 \]
Luego si las coordenadas de P y Q son racionales, las del simétrico de Q también lo son.
La fórmula también puede escribirse así:
\[ {\text{Punto simétrico}} = Q - 2 \cdot \frac{\eta \cdot Q}{\eta \cdot \eta} \cdot \eta \]
Observación: Concluimos que si una recta tiene un punto racional (en el caso fue (0, 0)) y tiene pendiente racional, entonces el simétrico de cualquier punto racional respecto de ella es también racional. LLamamos punto racional al que tiene coordenadas racionales.
Pregunta: Si una recta tiene pendiente racional (o un director con coordenadas racionales) ¿Tendrá algún punto racional?
La respuesta es que no siempre pues por ejemplo (e, 1) + t (1, 1) no tiene puntos racionales pues si t es racional , la primera coordenada no lo será, y si t es irracional, la segunda coordenada es irracional.
En general una recta (Irrac., racional) + t (racional, racional) no tiene puntos racionales.
Ampliaremos a dimensiones superiores primero imitando el método descrito, después simplificando ya que en realidad no hará falta hiperplano especular, ni simetría, esto se detalla en el apartado de n-uplas
Cuaternas pitagóricas (a, b, c, d)
Buscar a, b, c y d enteros tales que
\[ a^2 + b^2 + c^2 = d^2 \]
equivale a encontrar puntos sobre la esfera de radio 1 con todas sus coordenadas racionales.
En el 3D vemos el cubo unidad con la esfera inscrita, al pulsar la animación se dibuja el punto (0,0,-1) en rojo, el punto (1,1,1) en verde, la recta que los une y la intersección de esta recta con la esfera es el punto rojo y el negro con el que finaliza la animación. Este punto negro tiene de coordenadas (2/3, 1/3, 2/3) que nos la primera cuaterna pitagórica (2, 1, 2, 3) de la iteración de Vogeler en 3 dimensiones.
para la segunda iteración se toman los puntos (\(\pm \)2/3, \(\pm \)1/3, \(\pm \)2/3)
Comencemos tomando el punto (-2/3, 1/3, 2/3) = Q
dado Q de módulo 1 y racional en el plano O(0,0,0) P(1,1,1) Q se calcula el pie de la perpendicular de O a QP , entonces Q+2(pie-Q) es otro punto racional de módulo 1.
y hallamos su simétrico respecto del plano que pasa por el (0, 0, 0) y es perpendicular a la recta que une (-2/3, 1/3, 2/3) con (1, 1, 1)
un perpendicular al plano especular es (1, 1, 1) - (-2/3, 1/3, 2/3) = (5/3, 2/3, 1/3) proporcional a (1, 2/5, 1/5) = η
dos directores son
d1(-2/5, 1, 0)
d2(-1/5, 0, 1)
La fórmula para calcular el punto simétrico nos muestra que este punto simétrico tiene coordenadas racionales:
\[ \text{Punto simétrico} = Q \pm 2 \frac{\begin{vmatrix} Q - (0, 0, 0) \\ d1 \\ d2 \end{vmatrix}}{|\eta|} \cdot \frac{\eta}{|\eta|} \]
\[ {\text{O Punto simétrico}} = Q - 2 \cdot \frac{\eta \cdot Q}{\eta \cdot \eta} \cdot \eta \]
El resultado es (0, 3/5, 4/5)
Vemos por tanto que las iteraciones de Vogeler son válidas en dimensión 3 y en cualquier dimensión.
Detallamos los cálculos para este paso
1. Para \( Q = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \):
\[ \eta = (1, 1, 1) - Q = (1, 1, 1) - \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \]
Producto escalar: \[ \eta \cdot Q = \left(\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}\right) + \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right) = \] \[ = -\frac{10}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3} \]
Producto escalar: \[ \eta \cdot \eta = \left(\frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \] \[ =\frac{25}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} \]
Sustituyendo en la fórmula: \[ Q_{\text{nuevo}} = Q - 2 \cdot \frac{\eta \cdot Q}{\eta \cdot \eta} \cdot \eta \] \[ Q_{\text{nuevo}} = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) - 2 \cdot \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{10}{3}} \cdot \left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \] \[ Q_{\text{nuevo}} = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) + \frac{\frac{4}{3}}{\frac{10}{3}} \cdot \left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \] \[ Q_{\text{nuevo}} = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) + \frac{4}{10} \cdot \left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \] \[ Q_{\text{nuevo}} = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) + \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \] \[ Q_{\text{nuevo}} = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{10}{15}, \frac{4}{15}, \frac{2}{15}\right) \] \[ Q_{\text{nuevo}} = \left(-\frac{10}{15} + \frac{10}{15}, \frac{5}{15} + \frac{4}{15}, \frac{10}{15} + \frac{2}{15}\right) \] \[ Q_{\text{nuevo}} = \left(0, \frac{9}{15}, \frac{12}{15}\right) = \left(0, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) \]
n-uplas pitagóricas. Método general
Los puntos \( P \) y \( Q \) pueden tener \( m \) coordenadas, el segmento rojo señala un vector \( \eta \) en el plano de P, Q y el origen, perpendicular a \( P-Q \). Si llamamos \( u \) a \( P-Q \) y \( v \) a \( P \), podemos tomar como \( \eta \) el vector:
\[ \eta = -uv \, u + u^2 v \]
pues es perpendicular a \( u \).
Si \( Q \) en la base \( \{u, \eta\} \) tiene coordenadas \( (a, b) \), entonces el punto que buscamos es:
\[ -au + b\eta \]
señalado en verde en la figura.
Las coordenadas de \( Q \) en \( \{u, v\} \) son \( (-1, 1) \):
\[ -u + v = au + b\eta \]
lo que lleva al sistema de ecuaciones:
\[ -1 = a - b \, (u \cdot v) \]
\[ 1 = b \, (u \cdot u) \]
Resolviendo este sistema, se calculan \( a \) y \( b \), resultando que el punto buscado \( -au + b\eta \) es:
\[ \frac{u^2 - 2uv}{u^2} u + v \]
Así sustituyendo aquí \( u \) por \( P-Q \) y \( v \) por \( P \), obtenemos el punto buscado que está en la \( n \)-esfera de radio \( 1 \), es racional y define una \( (n+1) \)-upla pitagórica.
EJEMPLOS
EJEMPLO 1
Definimos los puntos:
\[ P = (1, 1, 1, 1, 1), \quad Q = (-1, 0, 0, 0, 0) \]
Por lo tanto:
\[ u = P - Q = (1, 1, 1, 1, 1) - (-1, 0, 0, 0, 0) = (2, 1, 1, 1, 1) \] \[ v = P = (1, 1, 1, 1, 1) \]
Calculamos \( u^2 \):
\[ u^2 = u \cdot u = 2^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 \]
Calculamos \( 2 u \cdot v \):
\[ u \cdot v = (2 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1) + (1 \cdot 1)=\] \[ = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 \] \[ 2 u \cdot v = 2 \cdot 6 = 12 \]
Sustituimos en la fórmula:
\[ \frac{u^2 - 2 u \cdot v}{u^2} u + v = \frac{8 - 12}{8} u + v = \frac{-4}{8} u + v = -\frac{1}{2} u + v \]
Calculamos \( -\frac{1}{2} u \):
\[ -\frac{1}{2} u = -\frac{1}{2} (2, 1, 1, 1, 1) = (-1, -0.5, -0.5, -0.5, -0.5) \]
Finalmente, sumamos \( v \):
\[ -\frac{1}{2} u + v = (-1, -0.5, -0.5, -0.5, -0.5) + (1, 1, 1, 1, 1)= \]\[ = (0, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5) \]
El resultado final es:
\[ (0, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5) \]
EJEMPLO 2
en dimensión 3
Dado \( Q = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \) y \( P = (1,1,1) \), tomamos: \[ u = P - Q \quad \text{y} \quad v = P \] Calculamos: \[ \frac{u^2 - 2uv}{u^2} u + v \]
**Cálculos paso a paso:**
1. Calculamos \( u = P - Q \): \[ u = (1,1,1) - \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \] \[ u = \left(1 + \frac{2}{3}, 1 - \frac{1}{3}, 1 - \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \]
2. Calculamos \( u^2 \): \[ u^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 \] \[ u^2 = \frac{25}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} \]
3. Calculamos el producto punto \( uv \): \[ uv = \left(\frac{5}{3}\right)(1) + \left(\frac{2}{3}\right)(1) + \left(\frac{1}{3}\right)(1) \] \[ uv = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{8}{3} \]
4. Sustituimos en \( \frac{u^2 - 2uv}{u^2} \): \[ \frac{u^2 - 2uv}{u^2} = \frac{\frac{10}{3} - 2\left(\frac{8}{3}\right)}{\frac{10}{3}} \] \[ \frac{u^2 - 2uv}{u^2} = \frac{\frac{10}{3} - \frac{16}{3}}{\frac{10}{3}} = \frac{-\frac{6}{3}}{\frac{10}{3}} = -\frac{3}{5} \]
5. Multiplicamos por \( u \): \[ \frac{u^2 - 2uv}{u^2} u = \left(-\frac{3}{5}\right) \left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \] \[ \frac{u^2 - 2uv}{u^2} u = \left(-1, -\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right) \]
6. Sumamos \( v \): \[ \left(-1, -\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right) + (1, 1, 1) \] \[ = (0, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}) \]
**Resultado final:** \[ \boxed{(0, \frac{3}{5}, \frac{4}{5})} \]
Calculadora n-uplas pitagóricas
Introduce el número de coordenadas del espacio:
Resultados:
Esta segunda calculadora lo que hace es tomar todas las posibilidades al tomar una terna pitagórica obtenida en la calculadora anterior. Así si antes obuvimos (3/5, 4/5) y introducimos ahora ese valor, la iterativa hará lo mismo pero con todas las combinaciones de (±3/5, ±4/5)
Calculadora Iterativa
Introduce el número de coordenadas del espacio: