Calcular el ángulo de divergencia contando los brazos

Las plantas con disposición helicoidal de hojas, semillas o escamas presentan dos familias principales de espirales, llamadas parástiquias. Basta contar el número de brazos de las dos últimas familias visibles para reconstruir el último convergente de la fracción continua que aproxima el ángulo de divergencia.

En este ejemplo las dos últimas familias tienen $$ 17 \qquad\text{y}\qquad 31 $$ brazos. A partir únicamente de estos dos números obtendremos el ángulo de divergencia, sin medir ningún ángulo y sin conocer previamente la fracción que lo representa.

1. Contar la última familia de brazos

La figura siguiente representa una filotaxis con un ángulo de divergencia desconocido. Lo primero consiste en contar la última familia de brazos, la más recta y fácil de distinguir. En este ejemplo se cuentan 31 brazos.

Filotaxis con 31 brazos rectos — La última corona visible está formada por **31 brazos**.

2. Contar la penúltima familia

A continuación seguimos una de las espirales de la familia anterior. En cualquiera de las tres imágenes siguientes se observa que dicha familia está formada por 17 brazos.

Segunda espiral resaltada — La misma familia vista desde otra posición.

Tercera espiral resaltada — Se cuentan igualmente **17 brazos**.

De la figura únicamente hemos obtenido dos números: $$ q_{n-1}=17, \qquad q_n=31. $$ Con ellos calcularemos el ángulo de divergencia.

3. Obtener el numerador mediante el algoritmo de Euclides

Los números $$ 17 \qquad\text{y}\qquad 31 $$ son los dos últimos denominadores de los convergentes de la fracción que representa el ángulo de divergencia. Para obtener el numerador no es necesario conocer previamente dicha fracción. Basta calcular el inverso modular de 17 módulo 31. Es decir, buscamos un entero $p$ que verifique

$$ 17p\equiv1\pmod{31}. $$

Para ello utilizamos el algoritmo de Euclides.

$$ \begin{aligned} 31 &= 1\cdot17+14,\\ 17 &= 1\cdot14+3,\\ 14 &= 4\cdot3+2,\\ 3 &= 1\cdot2+1. \end{aligned} $$

Ahora deshacemos el algoritmo hacia atrás.

$$ \begin{aligned} 1 &=3-2\\ &=3-(14-4\cdot3)\\ &=5\cdot3-14\\ &=5(17-14)-14\\ &=5\cdot17-6\cdot14\\ &=5\cdot17-6(31-17)\\ &=11\cdot17-6\cdot31. \end{aligned} $$

Por tanto,

$$ 17\cdot11\equiv1\pmod{31}, $$

y el numerador buscado es

$$ \boxed{ \frac{11}{31} } $$

4. El ángulo de divergencia

El ángulo de divergencia es simplemente esa fracción de una vuelta completa.

$$ \begin{array}{c} \theta=\dfrac{11}{31}\cdot360^\circ\\[6pt] 127.741935^\circ \end{array} $$

Todo el cálculo se ha realizado únicamente contando las dos últimas familias de brazos. No ha sido necesario medir ningún ángulo ni conocer previamente la fracción continua del ángulo de divergencia.

Comprobación con el simulador

Podemos comprobar el resultado utilizando el simulador de filotaxis. Introduciendo $$ \frac{11}{31} $$ como fracción del ángulo de divergencia y los parámetros indicados en la figura, obtenemos exactamente la disposición de hojas estudiada en esta página.

Simulador de filotaxis con ángulo 11/31 — Configuración del simulador para el ángulo de divergencia $11/31$.

Los parámetros utilizados son:

Numerador	11
Denominador	31
Escala	0,35
Máximo de hojas	300
Serie roja	0;31
Líneas	Ocultar
Orden	Ocultar

El simulador puede encontrarse en este enlace . El lector puede modificar libremente el numerador y el denominador para comprobar cómo cambia la estructura de la filotaxis y verificar que las dos últimas familias de brazos coinciden siempre con los dos últimos denominadores de los convergentes de la fracción elegida.

5. ¿Por qué funciona?

Si los dos últimos denominadores de los convergentes son $$ q_{n-1} \qquad\text{y}\qquad q_n, $$ los convergentes verifican la identidad $$ p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=\pm1. $$ Por ello, $$ p_nq_{n-1}\equiv\pm1\pmod{q_n}, $$ de modo que el numerador del último convergente es precisamente el inverso modular del penúltimo denominador respecto al último. En consecuencia, basta conocer las dos últimas familias de brazos de la planta para reconstruir el último convergente y obtener una excelente aproximación del ángulo de divergencia.

Ejemplo 2. Un girasol

El mismo procedimiento puede aplicarse a una fotografía real. En el girasol siguiente se distinguen dos familias principales de parástiquias. La última familia está formada por 55 brazos.

Última familia de 55 brazos — La última familia visible contiene **55 brazos**.

La penúltima familia contiene 34 brazos.

Penúltima familia de 34 brazos — La penúltima familia contiene **34 brazos**.

Cálculo del numerador

Los dos últimos denominadores de los convergentes son $$ q_{n-1}=34, \qquad q_n=55. $$ Buscamos el entero $p$ que satisface $$ 34p\equiv1\pmod{55}. $$ Aplicando el algoritmo de Euclides, $$ \begin{aligned} 55&=1\cdot34+21,\\ 34&=1\cdot21+13,\\ 21&=1\cdot13+8,\\ 13&=1\cdot8+5,\\ 8&=1\cdot5+3,\\ 5&=1\cdot3+2,\\ 3&=1\cdot2+1. \end{aligned} $$ Retrocediendo, $$ 1=21\cdot34-13\cdot55. $$ Por tanto, $$ 34\cdot21\equiv1\pmod{55}, $$ y el numerador buscado es $$ \boxed{21.} $$

$$ \boxed{ \frac{21}{55} } $$

Ángulo de divergencia

El ángulo correspondiente es $$ \theta= \frac{21}{55}\,360^\circ = 137.454545^\circ. $$

$$ \boxed{ 137.454545^\circ } $$

Este valor es una excelente aproximación del ángulo de oro $$ 360^\circ\left(1-\frac1\varphi\right) = 137.507764^\circ, $$ donde $$ \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2} $$ es el número de oro. La diferencia entre ambos valores es inferior a $$ 0.054^\circ, $$ prácticamente imperceptible en una planta real.

Los números $$ 34,\;55,\;89,\;144,\ldots $$ son términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Por ello, a medida que la planta crece, los convergentes del ángulo de divergencia se aproximan cada vez mejor a $$ \frac1{\varphi^2} = 1-\frac1\varphi, $$ la fracción de vuelta correspondiente al ángulo de oro.

Enlaces relacionados

Si deseas profundizar en la filotaxis, las fracciones continuas y el ángulo de divergencia, puedes consultar las siguientes páginas.